Rotación de mecha de la transformada de Fourier de propagadores μ+1μ+1\mu+1

Dejar

$$I_\mu = \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{(p^2+m^2)^{\mu+1}}$$ Derivando, obtenemos la siguiente identidad:

$$I_{\mu+1} =-\frac{1}{2m(\mu+1)}\frac{\partial I_\mu}{\partial m}$$

$I_0$es la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon en un espacio-tiempo con firma$(-+++)$. Esto tiene dos polos; realizando la integración según la prescripción de Feynman y asumiendo$x$es temporal,

$$I_0 = \lim_{\epsilon\to 0} \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{p^2+m^2+i\epsilon}=-\frac{m}{8\pi\sqrt{-x^2}}H_1^{(2)}(m\sqrt{-x^2})$$ dónde $H_1^{(2)}$es una función de Hankel. En el caso de espacio $x$, obtendría una función de Bessel modificada del segundo tipo.

Tanto las funciones de Bessel de primera como de segunda clase satisfacen la siguiente identidad. Desde$H^{(2)}$es una combinación lineal de estos dos, también satisface la identidad:

$$\frac{d}{dz}[z^\nu H^{(2)}_\nu(z)]=z^\nu H^{(2)}_{\nu-1}(z)$$ Echando un vistazo a la identidad euclidiana, se puede adivinar la siguiente expresión: $$I_\mu = \frac{1}{8\pi} \frac{1}{2^\mu \mu!} \left(\frac{-m}{\sqrt{-x^2}}\right)^{1-\mu} H^{(2)}_{1-\mu}(m\sqrt{-x^2})$$ que se puede demostrar por inducción.

Por el contrario, para spacelike$x$Se obtiene

$$I_0 = \lim_{\epsilon\to 0} \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{p^2+m^2+i\epsilon}=\frac{im}{4\pi^2\sqrt{x^2}}K_1(m\sqrt{x^2})$$ que conduce a la solución $$I_\mu = \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{2^\mu \mu!} \left(\frac{-m}{\sqrt{-x^2}}\right)^{1-\mu} K_{1-\mu}(m\sqrt{-x^2})$$ demostrado nuevamente por inducción.