Continuación analítica del tiempo imaginario Función de Green en el dominio del tiempo

Considere la función de Greens temporal imaginaria de un campo de fermiones Ψ ( X , τ ) a temperatura cero

GRAMO τ = − ⟨ θ ( τ ) Ψ ( X , τ ) Ψ † ( 0 , 0 ) − θ ( − τ ) Ψ † ( 0 , 0 ) Ψ ( X , τ ) ⟩

Es bien sabido que podemos obtener la función de Green retardada realizando la transformación de Fourier en el espacio de frecuencias y realizando la continuación analítica i ω → ω + i η .

Lo que me gustaría hacer es realizar la continuación analítica directamente en la forma i τ → t , pero no sé cómo lidiar con el θ ( τ ) términos.

Cómo realizar la continuación analítica i τ → t de la función de paso θ ( τ ) ?

En mi caso, estoy tratando con un líquido Luttinger quiral, dando algo como

GRAMO τ ( X , τ ) = − [ θ ( τ ) i i λ + i v τ − X − θ ( − τ ) i i λ − i v τ − X ]

dónde λ ≈ 0 es una regularización infinitesimal pero importante. Por supuesto, la continuación analítica en el dominio del tiempo se parecerá a

1 i λ + v t − X

pero me interesa la forma precisa.

Además, en última instancia, estoy interesado en la función espectral, por lo que no me importa si la continuación analítica me da otra variante de una función de Green, pero me gustaría obtenerla precisamente de la función de Green temporal imaginaria sin pasar por un tedioso Transformada de Fourier. Por ejemplo, el libro de Giuliani y Vignale "Teoría cuántica del líquido de electrones" utiliza la función de Green GRAMO > ( X , t ) con gran efecto (ecuación (9.133)).

Respuestas (1)

Para realizar la continuación analítica de la función escalón, comience con la segunda ecuación indicada en la pregunta. Dado que la derivada de la función escalonada es la función delta de Dirac, sustituya la función escalonada por la integración de la delta de Dirac. Luego realice la transformación de Fourier en la integral. Después de simplificar esta ecuación, es igual a cero. Ahora elimine este resultado integrándolo al dominio del tiempo. Esto da como resultado que la primera ecuación en su pregunta sea eliminada del tercer elemento del primer término y del segundo elemento del segundo. Una vez que esto haya terminado, puede continuar utilizando la continuación analítica normal, lo que hace que el dominio sea igual X i λ + v t − X

¿Podría elaborar? Realizando la transformada de Fourier y a la inversa nuevamente, obtengo que la continuación analítica i τ → t + i η da θ ( τ ) → i θ ( t ) mi − η t . ¿Es eso correcto?
@Greg Graviton Esto es correcto porque es la continuación analítica del tiempo imaginario, y el aspecto de esa función es familiar en la teoría cuántica de campos, lo que también facilita mucho la realización de este procedimiento.
@Greg Graviton Esto es correcto porque es la continuación analítica del tiempo imaginario, y el aspecto de esa función es familiar en la teoría cuántica de campos, lo que también facilita mucho la realización de este procedimiento. La transformada de Fourier es un paso obligatorio aunque hace que los cálculos sean tediosos (la pregunta solicitaba un método sin ella). Además, debe integrar el resultado que obtuvo de pi negativo a pi para obtener el resultado de mi respuesta, si aún no lo ha hecho.
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