Integrales divergentes en QFT

Question

Integrales divergentes en QFT

Asesino147

Estoy empezando a aprender sobre QFT y algo que noté es que a las integrales que de otro modo divergirían se les asigna un valor si lo hacemos por integración de contorno usando el teorema de los residuos y la receta de Feynman, por ejemplo

\begin{aligned} i \int \frac{d^{4} pag}{{(2 π)}^{4}} \frac{1}{{pag}^{2} - {METRO}^{2}} & = & i & \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{4}} & \int_{- \infty}^{\infty} d {pag}^{0} \frac{1}{{({pag}^{0})}^{2} - {mi}_{pag}^{2}} \\ = & \frac{1}{2} & \int \frac{d^{3} pag}{{(2 π)}^{3}} & \frac{1}{{mi}_{pag}} . \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} i\int\dfrac{\mathrm{d}^4p}{\left(2\pi\right)^4}\dfrac{1}{p^2-M^2} & ~~=~~ & i & \int \dfrac{\mathrm{d}^3\textbf{p}}{(2\pi)^4} && ~~ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}p^0\dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}}} \\ & ~~=~~ & \dfrac{1}{2} &\int \dfrac{\mathrm{d}^3\textbf{p}}{\left(2\pi\right)^3} && ~~ \dfrac{1}{E_{\textbf{p}}}. \end{alignat}$

La integral en el extremo derecho de la primera línea diverge ( $p^0$ es real como es $E_{\textbf{p}}$ ), pero si usamos la receta de Feynman, es decir, cambiando el integrando

\frac{1}{{({pag}^{0})}^{2} - {mi}_{pag}^{2}} \to \frac{1}{{({pag}^{0})}^{2} - {mi}_{pag}^{2} + i ϵ},

$\dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}}} ~~ \rightarrow ~~ \dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}} + i\epsilon} \,,$ podemos evaluar esto a un valor finito (que se usó para pasar de la primera a la segunda línea) usando el teorema de los residuos. Por cierto, la integral en la segunda línea todavía diverge y necesitamos regularizarla.

Pero mi pregunta se refiere al primer paso, ¿por qué es válido asignar un valor a esta integral simplemente cambiando sus polos? La integral no es convergente, cuando desplazamos sus polos estamos evaluando otra integral, no la misma con la que comenzamos.

Triático

Si bien no es lo mismo, una pregunta relacionada (y una muy buena respuesta a la parte del contorno cambiante) physics.stackexchange.com/q/138217 . Principalmente una nota al margen sobre por qué puede agregar la parte imaginaria en el denominador

Respuestas (1)

Integrales divergentes en QFT

Si bien no es lo mismo, una pregunta relacionada (y una muy buena respuesta a la parte del contorno cambiante) physics.stackexchange.com/q/138217 . Principalmente una nota al margen sobre por qué puede agregar la parte imaginaria en el denominador

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Esta es una pregunta común (y buena), que es el resultado de tomar los textos introductorios más en serio de lo que debería.

Al leer tales textos, uno tiene la impresión de que la filosofía es

Procedemos con la mayor ingenuidad posible y, cuando encontramos una divergencia, la regulamos.

Por otro lado, la actitud correcta (y mucho más útil) es

Nos tomamos las cosas más en serio desde el principio y nos aseguramos de que todas las expresiones sean siempre finitas. No regulamos las cosas sobre la marcha, sino que tomamos una teoría finita como punto de partida.

La segunda actitud es quizás un poco más complicada de formular, y esa es la razón por la cual los textos introductorios no la siguen. Es más fácil arreglar las cosas sobre la marcha que anticipar problemas con los que el lector no está familiarizado. Pero una vez que la imagen global es más o menos clara, se debe cambiar la filosofía a una más correcta, donde todo es finito desde el principio.

En este sentido, la pregunta de OP pierde sentido cuando se piensa en el contexto de la segunda actitud: no estamos introduciendo $+i\epsilon$ y cambiando la integral; más bien, el $+i\epsilon$ siempre estuvo ahí , desde el principio. OP pregunta por qué es válido asignar un valor finito a una integral cambiando el integrando. Tienen razón en ser escépticos: las integrales son lo que son, y si las modificas, estás calculando otra cosa. No se le permite cambiar un integrando, porque si lo hace, no está calculando lo que quería calcular.

La resolución es que si haces las cosas bien desde el principio , la integral que realmente quieres calcular es la modificada, no la divergente.

Ahora, formular QFT correctamente desde el principio está más allá del alcance de esta respuesta, pero permítanme mencionar que el $+i\epsilon$ La prescripción y su origen en el contexto de la formulación integral de la ruta de QFT se analizan en esta publicación de PSE . En el formalismo del operador, el origen es ligeramente diferente (pero la filosofía es la misma). Con todo, la respuesta a la pregunta de OP es: el $+i\epsilon$ No se introduce a mano, pero siempre estuvo ahí. Si no lo vio antes, es porque el texto que está siguiendo estaba tratando de mantener las cosas lo más simples posible.

Todavía no tengo los antecedentes para entrar en las matemáticas que describiste en tu otra publicación. Pero para responder a mi pregunta, el origen de la $i\epsilon$ la prescripción en QFT proviene de las condiciones de contorno en los campos en el formalismo de integral de caminos, ¿verdad? Si no es el mismo origen, las condiciones de contorno se aplican a "¿qué" en el formalismo del operador?
@ Slayer147 1) Sí, el $i\epsilon$ proviene de las condiciones de contorno de la integral de trayectoria. 2) En el formalismo del operador, no hay condiciones de contorno (bueno, al menos no en el caso estándar; en algunos casos más complicados las hay). Hay diferentes maneras de entender el origen de $i\epsilon$ en el formalismo del operador. La que más me gusta es que asegura la causalidad (es decir, proviene del símbolo de ordenamiento temporal; más precisamente, de la transformada de Fourier de la función escalonada, cf. QFT de Weinberg, Vol.1, §6.2).

Integrales divergentes en QFT

Asesino147

Triático

Respuestas (1)

AccidentalFourierTransformar

Asesino147

AccidentalFourierTransformar

Representación espectral de la corriente de Dirac

Cuantificación de campo sin masa escalar real libre en 2d

Función de correlación y cuadrivectores, ¿cómo simplificar una integral triple?

¿Por qué podemos simplemente absorber el coeficiente positivo de iϵiϵi\epsilon en un propagador?

Comportamiento asintótico del propagador para un campo escalar

Integral de propagador de Klein-Gordon

Integral de QFT de Lancaster

Decaimiento exponencial del propagador de Feynman fuera del cono de luz

Integral de contorno del propagador de Feynman

Transformada de Fourier del propagador libre al cuadrado - ∫d4p e−ip⋅xp2+m2−iϵ∫d4p e−ip⋅xp2+m2−iϵ\int d^{4}p\ \frac{e^{-ip\cdot x }}{p^{2}+m^{2}-i\épsilon}