Retiros de esquemas de grupos con producto gratis.

Supongo que le han dado la definición de pullback en términos de la propiedad universal, que puede ser difícil de trabajar en cálculos concretos (pero generalmente es mejor para probar teoremas generales). Daré la definición equivalente en términos de elementos de los grupos, lo que espero que te facilite las cosas.

Definición Si$f\colon H\to G$y$p\colon H'\to G$son homomorfismos de grupo y$p$es más sobreyectiva, entonces el retroceso$f^{\ast}H'$es el grupo de pares$(h,h')$tal que$f(h)=p(h')$con multiplicación por componentes.

También puede pensar en este grupo de manera equivalente como la preimagen del subgrupo diagonal$\Delta G=\{(g,g)\mid g\in G\}$del grupo$G\times G$bajo el homomorfismo del producto$f\times p\colon H\times H'\to G\times G$y entonces

Como$f^{\ast}H'$es un subgrupo de$H\times H'$, también viene equipado con un par de mapas de proyección en$H$y$H'$que son solo las restricciones de las proyecciones habituales al subgrupo$f^{\ast}H'$y es fácil verificar que estos mapas completan el diagrama de retroceso.