¿Cinco lemas cortos para grupos no abelianos?

Escribamos$p: G\to H$,$p':G'\to H'$,$k:K\to G$y$k':K'\to G'$para las flechas sin etiquetar en su diagrama.

Suponer$g$está en el núcleo de$\beta$(de modo que$\beta(g)=1$), mostraremos que$g=1$. Tenemos$1=p'(\beta(g))=\gamma (p(g))$y entonces$p(g)=1$desde$\gamma$es un isomorfismo. Dado que la fila superior es exacta, se deduce que hay$x$en$K$tal que$k(x)=g$. Tenemos$k'(\alpha(x)) = \beta(k(x))=\beta(g)=1$y por lo tanto$x=1$desde$\alpha$es un isomorfismo y$k'$es un monomorfismo. Por lo tanto$g=k(1)=1$y entonces$\beta$es un monomorfismo.

Ahora supongamos que$g'$es un elemento en$G'$mostraremos que hay un elemento en$G$que es mapeado por$\beta$a$g'$. Desde$\gamma$es un isomorfismo y$p$es sobreyectiva se sigue que hay$g_1$en$G$tal que$\gamma(p(g_1)) = p'(g')$. Resulta que$p'(g' \beta(g_1)^{-1})=p'(g')p'(\beta(g_1))^{-1}=p'(g')\gamma(p(g_1))^{-1} =p'(g')p'(g')^{-1}=1$y por lo tanto, dado que la fila inferior es exacta, hay$x'$en$X'$tal que$k'(x')=g'\beta(g_1)^{-1}$. Pero desde$\alpha$es un isomorfismo, hay$x$en$X$tal que$\alpha(x)=x'$. Tenemos$\beta(k(x)g_1) = \beta(k(x))\beta(g_1)=k'(\alpha(x))\beta(g_1)=k'(x)\beta(g_1)=g'\beta(g)^{-1}\beta(g)=g'$. Esto prueba que$\gamma$es sobreyectiva.

De hecho, más es cierto:

(a) Si$\alpha$y$\gamma$son monomorfismos, entonces también lo es$\beta$.

(b) Si$\alpha$y$\gamma$son sobreyectivas, entonces también lo es$\beta$.

En un nivel un poco más alto, se puede probar que para cualquier variedad de álgebras universales que tienen solo una constante$e$. El lema corto de cinco se cumple si y solo si para algún número natural$n$hay$n$términos binarios$s_i(x,y)$y uno$n+1$-término ario$p(x_1,...,x_{n+1})$tal que$s_i(x,x)=e$ $p(s_1(x,y),s_2(x,y),...,s_n(x,y),y)=x$. Para grupos$n=1$,$s_1(x,y)=xy^{-1}$y$p(x,y)=xy$.