Producto Gratis de Grupos con Presentaciones

La propiedad universal del producto libre$G*H$de grupos$G$y$H$es que existen homomorfismos$i_G:G \to G*H$y$i_H:H \to G*H$tal que, para cualquier grupo$K$y cualquier homomorfismo$\tau_G:G \to K$y$\tau_H:H \to K$, hay un único homomorfismo$\phi:G*H \to K$con$\phi i_G=\tau_G$y$\phi i_H=\tau_H$.

No es difícil probar la unicidad de$G*H$hasta el isomorfismo directamente de esta definición.

Para probar la existencia, sea$G = \langle A \mid R \rangle$y$H = \langle B \mid S \rangle$ser presentaciones de$G$y$H$, y deja$P = \langle A \cup B \mid R \cup S \rangle$. Luego, por las propiedades básicas de las presentaciones grupales, los mapas de identidad en$A$y en$B$inducir homomorfismos$i_G:G \to P$y$i_H:H \to P$.

También, dado$K,\tau_G,\tau_H$como arriba, define$\psi:F(A \cup B) \to K$por$\psi(a) = \tau_G(a)$y$\psi(b) = \tau_H(b)$para$a \in A,b \in B$. Entonces, desde$\tau_G$y$\tau_H$son homomorfismos de$G$y 0f$H$,$\psi$mapea todos los elementos de$R \cup S$a la identidad, y así$\phi$induce un homomorfismo$\phi:P \to H$con$\phi i_G=\tau_G$y$\phi i_H=\tau_H$. Por eso$P \cong G*H$.

Esta es una vieja pregunta que recientemente se resolvió, pero hay otra buena prueba que usa el hecho de que los colímites viajan entre sí y los adjuntos izquierdos, así que pensé en agregarla para futuros visitantes potenciales.

Dejar$G_i =\langle X_i\mid R_i\rangle$para$1\le i \le n$Ser grupos dados por presentación. Otra forma de decir esto es que tenemos el diagrama coecualizador

$$F(R_i)\rightrightarrows F(X_i)\to G_i,$$ con el mapa superior de la bifurcación siendo inducido por$R_i\subseteq F(X_i)$, y el mapa inferior es el mapa cero.

Ahora el coproducto en la categoría de grupos es el producto libre,$\newcommand\bigast{\mathop{{\Large *}}}\bigast$, entonces, tomando el coproducto de estos coecualizadores, dado que los colímites conmutan, obtenemos el coecualizador

$$\bigast_{i=1}^n F(R_i) \rightrightarrows \bigast_{i=1}^n F(X_i)\to \bigast_{i=1}^n G_i,$$ pero el funtor de grupo libre se deja adjunto al funtor olvidadizo, por lo que también conmuta con colimits, por lo que obtenemos un coecualizador $$F\left(\coprod_{i=1}^n R_i\right) \rightrightarrows F\left(\coprod_{i=1}^n X_i\right) \to \bigast_{i=1}^n G_i.$$

Traduciendo esto de nuevo a una declaración sobre presentaciones grupales, esto dice que$\bigast_{i=1}^n G_i$está dada por la presentación$\left\langle \coprod_{i=1}^n X_i\mid \coprod_{i=1}^n R_i \right\rangle$, como se desee.

Intentaré dar otra prueba del hecho.$G_i=\langle X_i|R_i\rangle \Rightarrow *G_i=\langle \sqcup X_i| \sqcup R_i\rangle$. Por favor, hágamelo saber si es coorect.

Tenemos el siguiente diagrama (perdón por esta mala imagen pero no pude escribirla aquí)

dónde$\pi_i:G_i\to *G_i$son monomorfismos y$\phi_i:F(X_i)\to \frac{F(X_i)}{\langle \langle R_i\rangle\rangle}$son las proyecciones.

Entonces de la propiedad universal de los productos libres tenemos que existe$\phi: *F(X_i)\to *G_i$con

$$\phi\circ j_i=\pi_i\circ \phi_i$$

Entonces$\phi$es sobre desde: cada$\phi_i$mapas$X_i$sobre un conjunto de generadores de$G_i$entonces$\phi$tiene que mapear cada$X_i$a un conjunto de generadores de$G_i$por eso$im\phi=*G_i$.

Tambien es:$ker\phi=\langle \langle \sqcup R_i\rangle\rangle$desde$j_i,\pi_i$son$1-1$.

Finalmente tenemos un isomorfismo$\bar{\phi}:\frac{*F(X_i)}{ker\phi}\to *G_i$