Haces de fibras con morfismos de categoría como fibras

Permítanme decir primero que es un poco extraño comenzar con el espacio total de un paquete trivial$E = M \times F$, lo que implica que todas las fibras son equinumeras, y luego escribir "Debido a la falta de homogeneidad de las fibras (es decir, la cardinalidad y la estructura del conjunto$Σ_x$y por lo tanto los morfismos entre este conjunto no es independiente en$x∈M$) [...]", lo que sugiere que las fibras no son necesariamente equinumerables.

Teniendo en cuenta la generalidad de su pregunta, no podremos imitar lo que se hace, por ejemplo, en la geometría de Riemann para definir un tensor de curvatura , ya que dicho tensor también actuaría sobre vectores tangentes a la fibra (cuyo significado es claro en nuestro contexto). Sin embargo, es posible que podamos obtener nociones aproximadas.

Dado un conjunto finito ordenado$\{x_1, \dots, x_n \} \subset M$, lo que podríamos llamar un camino discreto$\gamma$en$M$, podemos definir un morfismo$\Lambda(\gamma) : F_{x_1} \to F_{x_n}$como el morfismo compuesto$\Lambda(x_{n-1}, x_n) \circ \dots \circ \Lambda(x_1, x_2)$. Podríamos llamar$\Lambda(\gamma)$el transporte paralelo a lo largo del camino (discreto)$\gamma$. Si$\gamma$es un bucle, eso es si$x = x_1 = x_n$, entonces$\Lambda(\gamma) : F_x \to F_x$es la holonomía alrededor$\gamma$.

En buenas situaciones, dado un camino suave por partes$\Gamma : [0,1] \to M$unión$x$a$y$, podríamos ser capaces de definir$\Lambda(\Gamma)$observando el transporte paralelo de particiones discretas cada vez más finas de$\Gamma$, obteniendo al final algo independiente del proceso de partición. Por supuesto, alguna noción de convergencia en$\mathrm{Mor}(F_x, F_y)$debería existir aquí. Cuando$\Gamma$es un bucle, ahí es cuando$x=y$,$\Lambda(\Gamma)$es la holonomía alrededor$\Gamma$.

En el contexto de la geometría diferencial, sabemos (por ejemplo, por el teorema de Ambrose-Singer ) que la curvatura en$x \in M$está relacionado con la holonomía alrededor de bucles infinitesimales basada en$x$. Así que podríamos querer imitar esta idea. Más precisamente, si$\{ \Gamma_n : I \to M \}_{n \in \mathbb{N}}$es una secuencia de bucles basada en$x$convergente al bucle constante$c_x : I \to \{x \}$, entonces esperamos tener$\lim_{n \to \infty} \Lambda(\Gamma_n) = \Lambda(c_x) = Id$, que no dice nada acerca de la curvatura. Así que la curvatura es más una medida de cómo la secuencia$\{ \Lambda(\Gamma_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$enfoques$Id$. En geometría diferencial, esto se hace tomando un diferencial (ya que allí,$\mathrm{Mor}(F_x, F_x) = \mathrm{Diff}(F_x)$es una variedad suave), pero como mencionamos anteriormente, en nuestro contexto, tal noción de diferencial podría no existir.

Tenga en cuenta que la holonomía es una versión global de la curvatura; En geometría diferencial, dado que sabemos cómo integrar, recuperamos holonomías integrando la curvatura de 2 formas alrededor de bucles. Sin embargo, en un contexto más general, podría ser más natural considerar solo las holonomías sin intentar tener una noción infinitesimal de holonomía.