Presentación grupal - Interpretación categórica

Si aún no lo ha apreciado, comience a preocuparse realmente por las propiedades de continuidad y si las cosas se pueden representar como (co)límites. También recomiendo encarecidamente sentirse lo más cómodo posible con la noción de representabilidad. Además, es muy útil saber cómo se ven los límites y colimits en$\mathbf{Set}$. Como consejo general, cada vez que escuches "dado... existe un único...", deberías pensar en nombrar esa relación con una función de los dados, es decir, a Skolemize .

Entonces, por definición, la notación$\langle x_1, x_2,\dotsc\mid R_1, R_2, \dotsc\rangle$significa calcular el cociente del grupo libre generado por el conjunto$X=\{x_1,x_2,\dotsc\}$por la relación de equivalencia generada por las relaciones$R_i$. Decimos el funtor de grupo libre,$F : \mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$, se deja junto al funtor de conjunto subyacente obvio$U : \mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$. El cociente es, en este caso, un coecualizador que se puede representar con flechas$R_i : \mathbb{Z}\to FX$todos siendo coigualados con un mapa de identidad constante, que escribiré$e : \mathbb{Z}\to FX$. De paso,$\mathbb{Z}\cong F1$por eso se usa. Aquí$1(=\{*\})$es el objeto terminal en$\mathbf{Set}$, es decir, un conjunto singleton (para el cual he optado por escribir el elemento sin sentido como$*$).

A continuación, algunas generalidades.$F\dashv U$medio$\lceil -\rceil :\mathbf{Grp}(FX,G)\cong\mathbf{Set}(X,UG) : \lfloor - \rfloor$naturales en$X$y$G$. Con esto quiero decir$\lceil - \rceil : \mathbf{Grp}(FX,G)\to\mathbf{Set}(X,UG)$y$\lfloor - \rfloor$es su inversa que va en la dirección opuesta. Tenemos$\lceil \varphi\circ\psi \rceil = U\varphi\circ\lceil \psi\rceil$por naturalidad. Escribiré$FX/{\sim}$para el grupo que queremos crear,$\sim$indicando el coecualizador. Queremos explicar explícitamente la propiedad universal ya inherente aquí. Es decir, queremos una articulación explícita del funtor representable$\mathbf{Grp}(FX/{\sim},-)$en cuanto a sus constituyentes. Ahora, para cualquier hom-funtor, es continua en ambos argumentos, pero dado que es contravariante en el primer argumento, "parece" que lleva colimits a límites. Es decir, tenemos$\text{Hom}(\mathsf{Colim}D,Y)\cong\mathsf{Lim}(I\mapsto\text{Hom}(DI,Y))$naturales en$Y$(y para completar$\text{Hom}(X,\mathsf{Lim}D)\cong\mathsf{Lim}(I\mapsto\text{Hom}(X,DI))$). Tenga en cuenta que esto convierte colimits y límites en una categoría en límites en$\mathbf{Set}$. Límites en$\mathbf{Set}$se calculan como subconjuntos de productos definidos ecuacionalmente. Verás cómo funciona esto para los ecualizadores momentáneamente. El corolario del lema de Yoneda, que la incrustación de Yoneda es completa y fiel, es lo que nos permite movernos entre$X \cong Y$y$\text{Hom}(X,-)\cong\text{Hom}(Y,-)$en cualquier dirección. La mayoría de las veces, los resultados se probarán mostrando un isomorfismo (natural) de hom-funtores y el paso que usa Yoneda para reducirlo a un isomorfismo de objetos será tácito.

Ahora a calcular. Primero, por conveniencia, un lema:

$$\begin{align} \mathbf{Grp}(\mathbb{Z},G) & \cong \mathbf{Grp}(F1,G) \\ & \cong \mathbf{Set}(1,UG) \\ & \cong UG \end{align}$$ Esto establece que un homomorfismo de grupo de $\mathbb{Z}\to G$es lo mismo que un elemento de $UG$. Escribiré $\bar R_i (= \lceil R_i \rceil(*))$y $\bar e (=\lceil e\rceil(*))$para los elementos correspondientes de $UFX$. Finalmente, escribiré $\varepsilon$para el elemento de identidad de $G$.

$$\begin{align} \mathbf{Grp}(FX/{\sim},G) & \cong \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.\varphi \circ R_i = \varphi \circ e \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.\lceil\varphi \circ R_i\rceil = \lceil\varphi \circ e\rceil \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.U\varphi \circ \lceil R_i\rceil = U\varphi \circ \lceil e\rceil \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.\forall t\in 1.(U\varphi)(\lceil R_i\rceil(t)) = (U\varphi)(\lceil e\rceil(t)) \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.(U\varphi)(\lceil R_i\rceil(*)) = (U\varphi)(\lceil e\rceil(*)) \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.(U\varphi)(\bar R_i) = (U\varphi)(\bar e) \} \\ & = \{\varphi\in\mathbf{Grp}(FX,G)\mid \forall i.(U\varphi)(\bar R_i) = \varepsilon \} \\ & \cong \{g\in\mathbf{Set}(X,UG)\mid \forall i.(U\lfloor g\rfloor)(\bar R_i) = \varepsilon \} \end{align}$$

La mayor parte de lo anterior es en realidad un razonamiento teórico establecido, no un razonamiento categórico, que es parte de por qué la representabilidad es conveniente, ya que es probable que ya esté familiarizado con el razonamiento teórico establecido. También he sido muy detallista en lo anterior, dando pequeños pasos. Normalmente, abreviaría la mayor parte del razonamiento ecuacional en el medio. Mientras he escrito en$X$y$G$, todo esto sucede realmente al nivel de los isomorfismos (naturales) de los hom-funtores. Sin embargo, el primer isomorfismo es la continuidad del hom-funtor en su primer argumento, por lo que el lado derecho es la formulación explícita de un ecualizador en$\mathbf{Set}$, es decir, un subconjunto definido ecuacionalmente. Específicamente, este es el ecualizador de las funciones establecidas.$\mathbf{Grp}(R_i,G):\mathbf{Grp}(FX,G)\to\mathbf{Grp}(\mathbb{Z},G)$para cada$i$y de manera similar para$e$.$\mathbf{Grp}(R_i,G)(\varphi) = \varphi\circ R_i$y de manera similar para$e$. Así que podríamos reescribir la primera ecuación como$\mathbf{Grp}(R_i,G)(\varphi)=\mathbf{Grp}(e,G)(\varphi)$que coincidiría más con la construcción del ecualizador. Con menos ruido, la igualada de la dupla$f, g : X \to Y$en$\mathbf{Set}$es$\{ x\in X\mid f(x) = g(x)\}$.

Al leer el isomorfismo natural final, dice, si tienes una función$g$yendo desde el conjunto de generadores$X$a los elementos del (conjunto subyacente del) grupo$G$, esto se puede elevar a un homomorfismo de grupo$\lfloor g\rfloor : FX \to G$, y si$\lfloor g \rfloor(\bar R_i) = \varepsilon$para cada$\bar R_i$, entonces$\lfloor g \rfloor$desciende a un homomorfismo de$FX/{\sim}$a$G$. El$\bar R_i$son palabras en el alfabeto$X$y, por ejemplo,$\lfloor g \rfloor$es

$$\lfloor g \rfloor(x_1x_2x_1^{-1}x_2^{-1})=g(x_1)\cdot g(x_2)\cdot g(x_1)^{-1}\cdot g(x_2)^{-1}$$ dónde $\cdot$es la multiplicacion en $G$. La descripción concreta de $FX$no surge del trabajo anterior, sino que es parte de la prueba de que el adjunto izquierdo $F$existe

Me imagino que lo anterior no será fácil de seguir la primera vez debido a la cantidad de detalles y al ritmo acelerado. Quería proporcionar un ejemplo práctico de pasar de "tonterías abstractas" a definiciones concretas y explícitas. Una gran cantidad de trabajo categórico es muy constructivo, pero normalmente no explica los detalles (porque normalmente no son tan importantes). Sin embargo, incluso la teoría de categorías muy abstracta puede expandirse a construcciones teóricas de tipos o de conjuntos concretos.