Resultado contradictorio para el propagador de campo escalar de las reglas de Feynman y la fórmula LSZ

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Resultado contradictorio para el propagador de campo escalar de las reglas de Feynman y la fórmula LSZ

Física
propagador
dispersión
Feynman-diagramas
ecuación de klein-gordon

AccidentalFourierTransformar

Estoy tratando de aprender a calcular amplitudes de dispersión en una teoría de Klein-Gordon. Me estoy quedando atascado con el más simple de los ejemplos: $\phi\to\phi$ en una teoría de campo escalar libre.

Si calculo la amplitud para el proceso $\phi\to\phi$ , obtengo dos resultados diferentes dependiendo de si uso las reglas de Feynman o la fórmula LSZ .

Digamos que la partícula entrante tiene impulso. $p_\mathrm{in}$ y que el saliente tenga impulso $p_\mathrm{out}$ . Entonces, un diagrama de Feynman simple da amplitud = propagador, es decir,

\begin{matrix} (1) & {pag}_{i norte} - - - \overset{pag}{▸} - - - {pag}_{o tu t} = \frac{1}{{pag}^{2} - {metro}^{2}} \end{matrix}

$p_\mathrm{in} ---\stackrel{p}{\blacktriangleright} ---p_\mathrm{out} \qquad=\qquad \frac{1}{p^2-m^2} \tag{1}$ dónde

p

$p$ es el impulso de una partícula virtual que conecta los estados de entrada y salida . De la conservación del impulso,

p_{i n} = p = p_{o u t}

$p_\mathrm{in}=p=p_\mathrm{out}$ .

De $(1)$ obtenemos que la amplitud de $\phi\to\phi$ es

A = \frac{1}{{pag}_{i norte}^{2} - {metro}^{2}} = \frac{1}{{pag}_{o tu t}^{2} - {metro}^{2}}

$\mathcal A=\frac{1}{p^2_\mathrm{in}-m^2}=\frac{1}{p^2_\mathrm{out}-m^2}$

Si, por el contrario, calculamos la amplitud para el proceso con la fórmula de reducción LSZ , obtenemos

A (2 π)^{4} d ({pag}_{i norte} - {pag}_{o tu t}) = i \int d X d y {mi}^{i {pag}_{i norte} X} {mi}^{- i {pag}_{o tu t} y} ◻_{X} ◻_{y} ⟨ ϕ (X) ϕ (y) ⟩

$\mathcal A(2\pi)^4\delta(p_\mathrm{in}-p_\mathrm{out})=i\int\mathrm dx\,\mathrm dy\ e^{ip_\mathrm{in}x} e^{-ip_\mathrm{out}y}\, \square_x \square_y \langle\phi(x)\phi(y)\rangle$ dónde

◻_{x} \equiv \partial_{x}^{2} + m^{2}

$\square_x\equiv \partial_x^2+m^2$ , y

⟨ ϕ (x) ϕ (y) ⟩

$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$ es el propagador. Como la derivada KG, al actuar sobre el propagador, da como resultado una delta, es decir,

i ◻ ⟨ ϕ (x) ϕ (y) ⟩ = δ (x - y)

$i\square \langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta(x-y)$ , esta integral se evalúa como

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A (2 π)^{4} d ({pag}_{i norte} - {pag}_{o tu t}) & = \int d X d y {mi}^{i {pag}_{i norte} X} {mi}^{- i {pag}_{o tu t} y} ◻_{X} d (X - y) \\ = (2 π)^{4} d ({pag}_{i norte} - {pag}_{o tu t}) ({pag}_{i norte}^{2} - {metro}^{2}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \mathcal A (2\pi)^4\delta(p_\mathrm{in}-p_\mathrm{out})&=\int\mathrm dx\,\mathrm dy\ e^{ip_\mathrm{in}x} e^{-ip_\mathrm{out}y}\, \square_x \delta(x-y)\\ &=(2\pi)^4\delta(p_\mathrm{in}-p_\mathrm{out})(p_\mathrm{in}^2-m^2) \end{align} \tag{2}$

De $(2)$ obtenemos

A = {pag}_{i norte}^{2} - {metro}^{2} = {pag}_{o tu t}^{2} - {metro}^{2}

$\mathcal A=p_\mathrm{in}^2-m^2=p_\mathrm{out}^2-m^2$

Comparando esto con la amplitud del diagrama, encontramos que los resultados no están de acuerdo. ¿Alguien puede decirme dónde está mi error? Creo que el resultado correcto es el primero, así que tal vez mi fórmula para LSZ sea incorrecta o no se pueda usar en un proceso de una partícula.

Javier

@Jen: OP ha vuelto a hacer esta pregunta y tiene una respuesta. Tal vez podría decir si esa respuesta es suficiente para usted. AccidentalFourierTransform: si no obtiene una respuesta, debe editar su pregunta o colocar una recompensa, no hacer la pregunta nuevamente.

AccidentalFourierTransformar

@Javier esto pasó hace seis meses , cuando yo tenía solo un par de semanas: como no obtuve respuesta la primera vez que pregunté, pensé que podía preguntar una segunda vez. Ahora sé que este no es el procedimiento correcto, pero en ese entonces se sentía natural. Cuando hice la pregunta por segunda vez (duplicada, lo sé) no sabía cómo funcionaba SE. Ahora sé que estuvo mal . De todos modos, Jen ofreció una recompensa por mi pregunta por alguna razón (por cierto, no tengo nada que ver con eso ). [Como nota al margen: en mi humilde opinión, la respuesta dada en la otra publicación es incorrecta, y la pregunta sigue abierta para mí]

Javier

Está bien; Sólo quería asegurarme de que lo supieras.

david z

Es genial. He combinado la otra pregunta con esta. Siéntase libre de editar este para reflejar la redacción del otro, si lo desea.

AccidentalFourierTransformar

@DavidZ gracias! Edité esto un poco, usando algo de la notación del otro (que creo que es mejor y más claro); agregó algo de texto en negrita para enfatizar los puntos principales; y algunos detalles de las matemáticas.

Respuestas (2)

Resultado contradictorio para el propagador de campo escalar de las reglas de Feynman y la fórmula LSZ

@Jen: OP ha vuelto a hacer esta pregunta y tiene una respuesta. Tal vez podría decir si esa respuesta es suficiente para usted. AccidentalFourierTransform: si no obtiene una respuesta, debe editar su pregunta o colocar una recompensa, no hacer la pregunta nuevamente.
@Javier esto pasó hace seis meses , cuando yo tenía solo un par de semanas: como no obtuve respuesta la primera vez que pregunté, pensé que podía preguntar una segunda vez. Ahora sé que este no es el procedimiento correcto, pero en ese entonces se sentía natural. Cuando hice la pregunta por segunda vez (duplicada, lo sé) no sabía cómo funcionaba SE. Ahora sé que estuvo mal . De todos modos, Jen ofreció una recompensa por mi pregunta por alguna razón (por cierto, no tengo nada que ver con eso ). [Como nota al margen: en mi humilde opinión, la respuesta dada en la otra publicación es incorrecta, y la pregunta sigue abierta para mí]
Es genial. He combinado la otra pregunta con esta. Siéntase libre de editar este para reflejar la redacción del otro, si lo desea.
@DavidZ gracias! Edité esto un poco, usando algo de la notación del otro (que creo que es mejor y más claro); agregó algo de texto en negrita para enfatizar los puntos principales; y algunos detalles de las matemáticas.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Mi propio intento de esto: el primer resultado es incorrecto y el segundo es correcto pero incompleto .

Feynman: en el diagrama, todas las líneas son externas, por lo que no hay propagador en el diagrama. Por lo tanto, las reglas de Feynman dan $\mathcal A=1$ .

Comprueba esto:

En la cuantificación canónica, la amplitud viene dada por $\langle p|q\rangle=\langle 0|a_p a^\dagger_q|0\rangle=\langle 0|[a_p,a^\dagger_q]|0\rangle\propto\delta(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\langle 0|0\rangle$ . Por lo tanto, $\mathcal A$ es independiente de la cantidad de movimiento y puede hacerse igual a $1$ mediante una elección apropiada de la normalización de estados de una partícula. Hasta ahora, todo bien.

LSZ: En el OP, probé que LSZ da $\mathcal A_\text{LSZ}= p_\mathrm{in}^2-m^2$ ; pero como los momentos externos están en la cáscara, esto significa que $\mathcal A_\text{LSZ}=0$ . Pero $\mathcal A_\mathrm{LSZ}$ no es la amplitud total: ¡es solo la contribución conectada! En el proceso $\phi\to\phi$ , el diagrama de árbol está desconectado , lo que significa que LSZ tiene que evaluar a cero, y este es el comportamiento esperado .

La amplitud total para cualquier proceso es $^1$ $\mathcal A=\mathcal A_\mathrm{dis}+\mathcal A_\mathrm{LSZ}$ . Para este proceso en particular, $\mathcal A=1$ es una contribución desconectada, y $\mathcal A_\mathrm{LSZ}=0$ .

$^1$ por ejemplo, consulte las notas de Timo Weigand sobre QFT, página 50.

¿Cómo se calculan estas 'piezas desconectadas en general (para situaciones mayores de 1 en 1 partícula fuera) - por ejemplo, para una situación de 8 en 8 partículas fuera, con piezas desconectadas donde una pierna externa entrante está directamente conectada a una pierna externa saliente? ¿Puede usar las reglas de Feynman, o siempre tiene que volver a las conmutaciones de los operadores de creación/aniquilación como lo hizo aquí?

Nahc · Answer 2

En realidad no estás calculando lo mismo.

El espacio de momento Feynman del propagador se utiliza para el momento interno, que está fuera de la carcasa. Así que tu primer cálculo es correcto. Mientras que en su segundo caso, está utilizando la fórmula LSZ para forzar el impulso para estar en el caparazón. Una forma de obtener el mismo resultado es la siguiente:

Considere el siguiente diagrama:

(1) Usando la regla de Feynman del espacio de momento, dado que no hay propagador interno, debe obtener 1. Entonces, el elemento de matriz S es $\sim \delta^4(p_{in}-p_{out})$

(2) Utilice la fórmula LSZ:

(- i \int d^{4} X {mi}^{- i {pag}_{i norte} X} ◻_{X}) (- i \int d^{4} y {mi}^{i {pag}_{o tu t} y} ◻_{y}) \int d^{4} X_{1} < ϕ (X) ϕ (X_{1}) >< ϕ (X_{1}) ϕ (y) >\sim d^{4} ({pag}_{i norte} - {pag}_{o tu t})

$\begin{equation} (-i\int d^4xe^{-ip_{in}x}\Box_x)(-i\int d^4 ye^{ip_{out}y}\Box_y)\int d^4x_1<\phi(x)\phi(x_1)><\phi(x_1)\phi(y)>\sim \delta^4(p_{in}-p_{out}) \end{equation}$

En realidad, debo decir que el primer cálculo no es correcto: la amplitud no es $\frac{1}{p^2-m^2}$ , porque los momentos están en el caparazón, lo que haría que la amplitud divergiera. El resultado de LSZ es correcto, pero incompleto. Para obtener más detalles, consulte mi propia respuesta anterior (de todos modos, gracias por su respuesta :))

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