Prueba de función de dos puntos de series geométricas

Al derivar la expresión para el propagador exacto

GRAMO C ( 2 ) ( X 1 , X 2 ) = [ pag 2 − metro 2 + Π ( pag ) ] − 1

para ϕ 4 teoría todos los libros que conozco usan el siguiente argumento:

GRAMO C ( 2 ) ( X 1 , X 2 ) = GRAMO 0 ( 2 ) + GRAMO 0 ( 2 ) Π GRAMO 0 ( 2 ) + GRAMO 0 ( 2 ) Π GRAMO 0 ( 2 ) Π GRAMO 0 ( 2 ) + … .

Aquí Π es la suma de todos los diagramas irreducibles.

Usando los diagramas de Feynman al orden inferior podemos ver que esto es cierto, pero ¿qué pasa con los órdenes superiores? ¿Hay alguna prueba formal (por inducción o algo más) de que esto sea cierto?

Respuestas (1)

Prueba esbozada:

  1. En general sabemos que un diagrama conexo es un árbol de propagadores desnudos GRAMO 0 y vértices 1PI (amputados), cf. Lema 3.11 en Ref. 1.

  2. En particular, el propagador completo/función de 2 puntos conectada GRAMO C deben ser cadenas de propagadores desnudos GRAMO 0 y (amputado) vértice de 2 puntos Σ ≡ Π , que llamamos energía propia .

  3. Ahora, ¿qué pasa con los coeficientes frente a cada diagrama de Feynman? Debido a la combinatoria/factorización involucrada, se convierte en una serie geométrica.

    (A) GRAMO C   =   GRAMO 0 ∑ norte = 0 ∞ ( Σ GRAMO 0 ) norte .

  4. Podemos aislar los vértices de 2 puntos (amputados) en la ecuación. (A)

    (B) Σ   =   GRAMO 0 − 1 − GRAMO C − 1 .

  5. En general, la energía propia Σ consiste en diagramas conectados con 2 piernas amputadas de manera que las 2 piernas no se pueden desconectar cortando una sola línea interna.

  6. Si no hay renacuajos, la energía propia Σ es 1PI, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

Referencias:

  1. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 notas de conferencias en línea ; Secciones 3.11 y 3.12.
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