Lagrangiano complicado: comprobación de las reglas de Feynman

Question

Lagrangiano complicado: comprobación de las reglas de Feynman

Fiesta de la columna vertebral

Tengo el siguiente ejemplo Lagrangiano:

\begin{aligned} L & = [\bar{ψ} (i D - METRO) ψ - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v}] + \\ + \sum_{i = 1, 2} [(D_{m} ϕ_{i}) (D^{m} ϕ_{i})^{†} - {metro}_{i}^{2} | ϕ_{i} |^{2}] + \\ + \frac{1}{2} [x^{†} γ^{0} (i \partial - {metro}_{x}) x] + \\ + \sqrt{2} λ [ϕ_{1} x^{†} γ^{0} {PAG}_{L} ψ - ϕ_{2} x^{†} γ^{0} {PAG}_{R} ψ + hc] \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \mathcal{L} &= \left[ \bar{\psi} (i \require{cancel}\cancel{D} -M)\psi - \frac14 F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \right] + \\ & +\sum_{i={1,2}}\bigg[ (D_\mu\phi_i) (D^\mu\phi_i)^\dagger -m_i^2 |\phi_i|^2 \bigg] + \\ & +\frac12 \bigg[ \chi^\dagger \gamma^0(i \cancel{\partial}-m_\chi)\chi \bigg] + \\ & +\sqrt{2} \lambda \bigg[ \phi_1\chi^\dagger\gamma^0 P_L \psi - \phi_2\chi^\dagger\gamma^0 P_R \psi +\mbox{h.c.}\bigg] \end{split} \end{equation}$

Con $D_\mu=\partial_\mu-i\lambda A_\mu$ , $P_{R/L} = (1 \pm \gamma^5)/2$ . El campo $\psi$ es un fermión, el $\phi_i$ son campos escalares complejos y $\chi$ es un fermión de Majorana. Quiero escribir las reglas de Feynman.

Ahora, el primer soporte es solo un QED Lagrangiano normal, por lo que incluye el $\psi$ y propagadores de fotones y el vértice de interacción habitual. De manera similar, el segundo paréntesis contiene los dos campos escalares complejos acoplados al campo electromagnético, por lo que básicamente son solo dos lagrangianos QED escalares.

No estoy seguro sobre el tercer paréntesis, porque no sé cómo tratar los fermiones de Majorana en absoluto. Es el término cinético, y la única diferencia es la presencia de $\gamma^0$ , pero no estoy seguro de cómo debería aparecer eso en el propagador. ¿Simplemente se multiplica, como:

γ^{0} \frac{i}{pag - {metro}_{x} + i ϵ} ?

$\gamma^0 \frac{i}{\cancel{p}-m_\chi + i\epsilon} \quad ?$

Si es así, ¿cómo sé de qué lado colocar la matriz gamma?

En cuanto al cuarto soporte, las interacciones son entre uno de los campos escalares complejos, el espinor de Majorana y un espinor de Dirac. No sé cómo incluir la proyección y gamma en esto. ¿Los vértices serán simplemente:

\sqrt{2} λ γ^{0} {PAG}_{R / L} ?

$\sqrt{2} \lambda \gamma^0 P_{R/L} \quad ?$

¿Cómo serán los vértices?

En general, mi problema es descifrar cómo incorporar objetos como matrices gamma u operadores de proyección en las reglas de Feynman apropiadas para interacciones extrañas como esta.

Respuestas (1)

Lagrangiano complicado: comprobación de las reglas de Feynman

JgL · Answer 1

Acerca de los espinores de Majorana, piense en ellos como espinores 'reales', mientras que los espinores de Dirac son 'complejos'. Para un campo escalar real, $\phi = \phi^*$ , mientras que para un campo escalar complejo $\phi$ y $\phi^*$ son grados de libertad independientes. De manera similar, para un espinor de Dirac $\psi$ y $\psi^*$ son grados de libertad independientes, mientras que para un espinor de Majorana $\psi^* = \psi$ . Las relaciones de anticonmutación para las matrices gamma serán las mismas que antes.

Para encontrar la función de Green o propagador del espinor de Majorana $\chi$ , tienes que - idéntico al caso de un espinor de Dirac - encontrar el inverso de este operador

[γ^{0} (i \partial - {metro}_{x})] GRAMO (X - y) = i d (X - y)

$\bigg[ \gamma^0(i \cancel{\partial}-m_\chi) \bigg]G(x-y) = i\delta(x-y)$ que te dará

GRAMO (X - y) = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i (pag + {metro}_{x}) γ^{0}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ} {mi}^{- i pag \cdot (X - y)}

$G(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{i(\cancel{p} + m_\chi)\gamma^0}{p^2 - m^2 + i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)}$ Tenga en cuenta que

γ^{0} p γ^{0} k = γ^{0} γ^{μ} \partial_{μ} γ^{0} γ^{ν} \partial_{ν} = - (γ^{0})^{2} γ^{μ} \partial_{μ} γ^{ν} \partial_{ν}

$\gamma^0\cancel{p}\gamma^0\cancel{k} = \gamma^0 \gamma^\mu \partial_\mu \gamma^0 \gamma^\nu \partial_\nu = - (\gamma^0)^2 \gamma^\mu \partial_\mu \gamma^\nu \partial_\nu$ . Por lo tanto, debe poner el

γ^{0}

$\gamma^0$ en el propagador anterior a la derecha, para asegurarse de que el signo menos se cancelará (como cada vez que tira del

γ^{0}

$\gamma^0$ 'a través de' un

p

$\cancel{p}$ obtiene un signo menos).

Debido a que el espinor de Majorana es 'real', $\chi$ y $\chi^*$ son lo mismo. $\psi$ es un espinor de Dirac y por lo tanto tiene diferentes componentes quirales (que se obtienen de los operadores de proyección $P_L$ y $P_R$ ). Los términos de interacción te dicen que este espinor de Majorana $\chi$ interactúa con las diferentes partes quirales (los componentes izquierdo y derecho) del espinor de Dirac $\psi$ En maneras diferentes

\sqrt{2} λ x^{†} γ^{0} [ϕ_{1} {PAG}_{L} - ϕ_{2} {PAG}_{R}] ψ + hc

$\sqrt{2} \lambda \chi^\dagger\gamma^0 \bigg[ \phi_1 P_L - \phi_2 P_R \bigg] \psi+\mbox{h.c.}$ Si desea hacer diagramas de Feynman, esto significa que tendremos dos distinciones en todas partes entre los diagramas para

ϕ_{1}

$\phi_1$ y

ϕ_{2}

$\phi_2$ , y

P_{L} ψ

$P_L \psi$ y

P_{R} ψ

$P_R \psi$ , ya que estos diferentes componentes de los campos interactuarán de diferentes maneras.

Para el primer término de interacción (que implica $\chi^\dagger$ , $\phi_1$ y $P_L \psi$ ) el término de interacción será de hecho lo que dijiste que sería: $\sqrt{2}\lambda\gamma^0$ .

No estoy seguro de cómo escribir la parte hc. ¿El operador de proyección va a cambiar de R a L? Quiero escribir los vértices para $\chi, \phi_1, \psi$ . También, desde $\chi$ se supone que es un fermión 'real', es $\chi ^\dagger = \chi$ ?
Entonces, por ejemplo, ¿cuál será la diferencia entre los vértices para $(\bar{\psi}, \chi, \phi_1)$ y $(\psi, \chi^\dagger, \phi_1^\dagger)$ ? $P_L$ anticonmuta con $\gamma^0$ , así que conseguiré un $P_R$ fuera de eso verdad?
Recuerde que los operadores de proyección se pueden escribir como $P_{R,L} = (1 \pm \gamma_5)$ y $\gamma_5^\dagger = \gamma_5$ .
correcto, así que cuando conjugo $\gamma^0 P_L$ Lo tendré $P_L \gamma^0 = \gamma^0 P_R$ desde $\{ \gamma^0 , \gamma^5 \} = 1$
Sí. (En mi comentario anterior debería decir $P_{R,L} = \frac 12 (1 \pm \gamma_5)$ , pero no es muy relevante) De hecho, $(\gamma^0 P_L)^\dagger = \gamma^0 P_R$ como usted señala.
Por cierto, tenga en cuenta que el $P_R$ obtienes en tu ejemplo funciona en $\psi^\dagger$ desde la derecha Así que el conjugado hermitiano del término $\phi_1 \chi^\dagger (\gamma^0 P_L \psi)$ será $\phi_1^* (\psi^\dagger P_L \gamma^0) \chi$ , involucrando la parte izquierda de $\psi^\dagger$ y teniendo de nuevo la $\gamma^0$ en el término de interacción. Quiere que el $P_L$ para trabajar directamente en el $\psi^\dagger$ al lado para que pueda ver que el término de interacción implicará el $\gamma^0$ ese es el término 'entre' los campos, $(\psi^\dagger P_L)\gamma^0(\chi)$ .

Lagrangiano complicado: comprobación de las reglas de Feynman

Fiesta de la columna vertebral

Respuestas (1)

JgL

Fiesta de la columna vertebral

Fiesta de la columna vertebral

JgL

Fiesta de la columna vertebral

JgL

JgL

Corrección al propagador escalar - acoplamiento derivativo

Propagadores multiplicadores

"Propagador inverso" dependiente del corte para la renormalización

Diagrama de bucle único ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi en la teoría gϕ3gϕ3g\phi^3

Acción efectiva 1PI de un lazo y propagadores vestidos

¿Es válido un diagrama de Feynman que representa una burbuja de vacío "que se vuelve real"?

Representación espectral de la corriente de Dirac

Prueba de función de dos puntos de series geométricas

Derivación del propagador de fotones

¿Qué significa realmente calcular cosas a nivel de árbol?