Tengo una duda sobre la siguiente fórmula (etiqueta (1))
en la teoría de la perturbación, donde , es estado fundamental, es estado fundamental, una perturbación débil tal que , es el producto ordenado por tiempo y denota el campo cuántico escalar en la imagen de interacción. En la interacción débil y aproximaciones, se encuentra que se puede obtener del estado fundamental del hamiltoniano libre a través de una evolución temporal, es decir , dónde .
En Peskin-Schroeder se explica cómo el denominador conduce a la exclusión de las partes inconexas del diagrama de Feynman. Ahora, mi duda es: si la función de Green (n-puntos) viene dada por
y está dada por la evolución de , ¿cómo es que la ecuación (1) da las partes conectadas de los diagramas?
Al calcularlo explícitamente, se puede encontrar que el denominador es una consecuencia de reescribir los paréntesis anteriores con el estado fundamental hamiltoniano completo en términos del estado fundamental hamiltoniano libre. Entonces me preguntaba si obtener la función de Green conexa es una mera consecuencia de las dos aproximaciones y por lo tanto de la teoría que se estudia.
Supongo que estamos trabajando con un orden fijo en la teoría de la perturbación, por lo que el conjunto de todos los gráficos de Feynman posibles es finito. También asumo que la teoría se ha regularizado de modo que todos los gráficos evalúen amplitudes finitas.
A un gráfico de burbujas lo llamamos diagrama de Feynman sin patas externas.
A un grafo conexo lo llamamos diagrama de Feynman tal que entre sus componentes conexos no hay burbujas. Importante: tenga en cuenta que esta definición, a pesar de que se usa mucho en muchos libros de texto de QFT, es algo contraria a la intuición. Por lo general, un gráfico conexo es un gráfico con un solo componente conexo. ¡Aquí no es así!
Considere un gráfico de Feynman arbitrario . Naturalmente, podemos dividirlo en el subgrafo conectado (en el sentido definido anteriormente) y el gráfico de burbujas , que en el caso general es una unión de burbujas. Se puede obtener directamente de las reglas de Feynman que
Ahora considere una suma de todos los gráficos de Feynman posibles con un conjunto fijo de patas externas. Esta suma es sobre el producto cartesiano de gráficos conectados (en el sentido definido anteriormente) y gráficos de burbujas. Por lo tanto, la suma se factoriza como
Este resultado se conoce como "fórmula de factorización de burbujas".
Ahora tenga en cuenta que el denominador en su fórmula es solo un caso especial del numerador donde no hay operadores de campo antes , o en nuestra terminología esquemática, donde no hay patas externas. Solo hay un gráfico conectado sin patas externas que es el gráfico vacío sin vértices ni aristas, por lo que (nuevamente, directamente de las reglas de Feynman)
Por lo tanto, concluimos que el denominador es solo una suma de gráficos de burbujas, y de la fórmula de factorización de burbujas concluimos que la fracción es igual a la suma de gráficos conectados.
Todo este razonamiento se puede precisar si introducimos una teoría de perturbaciones de orden superior y un esquema de regularización, como se supuso en mi respuesta.