Sin giro e−γ→e−e−γ→e−e^{-}\gamma\rightarrow e^{-} Sección transversal

Estaba tratando de averiguar la sección transversal$\frac{d\sigma}{d\Omega}$para spinless$e^{-}\gamma\rightarrow e^{-}$dispersión. Primero escribí los términos asociados con cada componente.

Vértice:

$$ie(P_A+P_B)^{\mu}$$ Bosón externo:$1$

Fotón:$\epsilon_{\mu}$

Multiplicarlos dará la amplitud invariante.

$$i\mathcal{M} =ie(P_A+P_B)^{\mu}\epsilon_{\mu}$$ Ahora considere los momentos en la aproximación de alta energía $$P_A =(p,P)$$ $$P_B=(p,P')$$ tal que$|P|=|P'|=p$Entonces $$P_A+P_B=(2p,P+P')$$ ahora cuadrando$\mathcal{M}$ $$\mathcal{M}^2 = e²(6p^2+2p^2\cos\theta)\epsilon^2$$ La sección transversal diferencial será: $$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{p^2e²}{32\pi^2s}(3+\cos\theta)\epsilon^2$$

Ahora tengo dos preguntas:

1) ¿Qué he hecho mal? No pude encontrar la respuesta en ninguna parte en línea, ¿hay algo obvio que me estoy perdiendo? Sé que estoy equivocado porque$\epsilon^2$es un$3\times 3$matriz. Una sección transversal no puede ser una matriz (hasta donde yo sé).

2) ¿Qué hará$s$¿ser? En el libro Martin y Halzen la definición$s$era simplemente

$$s=(P_A+P_B)^2$$ Pero$s$en Martin y Halzen se definió en el caso de un diagrama de dos vértices. ¿Cuál será la definición de$s$en el diagrama de un solo vértice?