Respuesta lineal e integral de trayectoria

Estoy siguiendo el libro de Wen sobre la teoría cuántica de campos y estoy luchando con la sección 2.2.1 sobre la respuesta lineal y las funciones de respuesta.

Específicamente, no puedo reproducir la ecuación 2.2.7 en la que el libro calcula la respuesta lineal del oscilador armónico para el estado fundamental en el que la perturbación está en x , y el estado observable también es x

De la función de respuesta tenemos:

D ( t , t ′ ) = − i Θ ( t − t ′ ) < ψ 0 | [ O ^ 1 ( t ) , O ^ 2 ( t ′ ) ] | ψ 0 >
Y como mencioné, estoy interesado en el cálculo en el que O ^ 1 = O ^ 2 = X ^

Los siguientes pasos son en los que estoy luchando.

D ( t , t ′ ) = − i Θ ( t − t ′ ) < 0 | [ X ^ ( t ) , X ^ ( t ′ ) ] | 0 >= − 2 Θ ( t − t ′ ) < 0 | X ^ 2 | 0 > s i norte ( w ( t − t ′ ) )

Y entonces, si la perturbación es O ^ 1 = − q X ^ ε ( t ) = − q X ^ ε mi − 0 + | t |

d = ∫ − ∞ ∞ D ( t − t ′ ) mi − 0 + | t ′ | ( − ε ) d t ′ = − q 2 D ω = 0 ε = 2 q 2 < 0 | X ^ | 0 > ω 0 ε

Con D ω = ∫ − ∞ ∞ D ( t ) mi i ω t d t

Estaría muy agradecido si alguien pudiera explicarme el álgebra, ya que no he podido reproducir los resultados.

He escrito las ecuaciones tal como aparecen en el libro, excepto por 2 cambios:

  1. Reemplacé el cargo mi con q para evitar posibles confusiones con las exponenciales

  2. yo escribi todo X como operadores

En una nota final, el libro no menciona el término cuadrático del oscilador armónico, por lo que no sé si está escrito como ω o ω 0 , solo puedo pensar que las diferentes frecuencias angulares provienen de un error tipográfico.

Creo que puede ayudar a cualquiera que pueda ayudarme si escribo lo que hice, y tal vez señalarían un error. Para [x(t), x(t')] intenté 2 cosas, la primera fue usar la representación de Heisenberg, pero me quedé atascado porque los operadores no conmutan con el hamiltioniano ni con el operador de evolución temporal. Luego intenté usar la solución (x(t)=A senwt + Bcos(wt)) de la ecuación X ˙ = − i [ H , X ] , pero concluí que [x(t),x(t')] = 0 Para la transformada de Fourier asumí lo anterior y traté la integral como una transformada de Fourier, pero la transformada es diferente a la que se muestra. Gracias
Es posible que desee observar los comandos \langle y \rangle en LaTeX.

Respuestas (1)

En mi copia del libro, la expresión para el oscilador armónico hamiltoniano se da como H = 1 2 metro ( pag 2 + metro 2 ω 0 2 X 2 ) , por lo que no hay errores tipográficos, pero las copias pueden diferir.

Considero operadores de Heisenberg X ( t ) y pag ( t ) y definir pag 0 ≡ pag ( 0 ) y X 0 = X ( 0 ) . Los libros de texto estándar de mecánica cuántica, como Messiah capítulo XII, darán los resultados esenciales sobre el oscilador armónico, en particular (Messiah XII.43):

< norte | X 2 | norte >= mi norte metro ω 0 2 , de modo que < 0 | X 2 | 0 >= ℏ 2 metro ω 0 .

Con respecto a sus preguntas: para la primera parte, su comentario está cerca de una derivación adecuada: tome X ( t ) = X 0 porque ⁡ ( ω 0 t ) + pag 0 metro ω 0 pecado ⁡ ( ω 0 t ) (Mesías XII. 34) pero tenga en cuenta que X 0 y pag 0 son operadores, y no conmutan: [ X 0 , pag 0 ] = i ℏ . Si se tiene en cuenta esto, se encuentra

[ X ( t ) , X ( t ′ ) ] = − i ℏ metro ω 0 pecado ⁡ ( ω 0 ( t − t ′ ) ) = − 2 i < 0 | X 2 | 0 > pecado ⁡ ( ω 0 ( t − t ′ ) ) .
Esto muestra la primera relación que estabas buscando:
D ( t − t ′ ) = − 2 < 0 | X 2 | 0 > Θ ( t − t ′ ) pecado ⁡ ( ω 0 ( t − t ′ ) )

Con esto puedes manejar el segundo punto de tu pregunta:

d = 2 mi 2 mi < 0 | X 2 | 0 > ∫ − ∞ t mi 0 + t ′ pecado ⁡ ( ω 0 ( t − t ′ ) ) d t ′ = 2 mi 2 mi < 0 | X 2 | 0 > ∫ − ∞ t mi i ω 0 ( t − t ′ ) − mi i ω 0 ( t − t ′ ) 2 i mi 0 + t ′ = 2 mi 2 mi < 0 | X 2 | 0 > ω 0 .

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