Propagador en el mecanismo cuántico integral de trayectoria como función de Green de la ecuación de Schrödinger

Question

Propagador en el mecanismo cuántico integral de trayectoria como función de Green de la ecuación de Schrödinger

Física
propagador
integral de trayectoria
greens-funciones
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger

Teofía

Estoy estudiando en el libro de QFT de Ryder. Estoy tratando con QM en el enfoque integral de ruta y él está tratando de probar que el propagador $K(x_f t_f;x_i t_i)$ es la función de Green de la ecuación de Schrödinger (S.):

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} ψ (X_{F} t_{F}) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} ψ (X_{F} t_{F}) = V (X_{F} t_{F}) ψ (X_{F} t_{F}) (1)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}\psi(x_f t_f) + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \psi(x_f t_f) =V(x_ft_f) \psi(x_ft_f) \quad (1) \label{one} \end{equation}$

Tenemos una función de onda genérica que satisface la ecuación S. $\psi$ y podemos reescribirlo como (ecuación 5.27)

ψ (X_{F} t_{F}) = ϕ (X_{F} t_{F}) - \frac{i}{ℏ} \int d X d t k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) V (X, t) ψ (X t) (2)

$\begin{equation} \psi(x_f t_f)= \phi(x_f t_f) - \frac{i}{\hbar}\int dx dt \; K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \quad (2) \label{eq:2} \end{equation}$

dónde $\phi(x_f t_f)$ es una onda plana libre que por lo tanto satisface la S libre. eq:

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} ϕ (X_{F} t_{F}) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} ϕ (X_{F} t_{F}) = 0 (3)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}\phi(x_f t_f) + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \phi(x_f t_f) =0 \quad (3) \end{equation}$

y $K_0$ es el propagador libre. Entonces, conectando eq (1) en eq (2) y usando eq (3) Ryder deriva esto

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) = \frac{- i}{ℏ} d (X_{F} - X) d (t_{F} - t)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$

Mi problema es llegar a esta ecuación. Conectando (2) a (1) puedo llegar tan lejos como

\frac{- i}{ℏ} \int d X d t [\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}}] (k_{0} (X_{F} t_{F}; X t)) \cdot V (X t) ψ (X t) = V (X_{F} t_{F}) ϕ (X_{F} t_{F}) - \frac{i}{ℏ} V (X_{F} t_{F}) \int d X d t k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) V (X, t) ψ (X t)

$\begin{equation} \frac{-i}{\hbar}\int dx dt \; \left[\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f}\right] ( K_0(x_f t_f;x t)) \cdot V(xt) \psi(xt) = V(x_ft_f) \phi(x_ft_f) - \frac{i}{\hbar} V(x_ft_f) \int dx dt K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \end{equation}$

donde usé (3) en el lado izquierdo.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/65489/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 y enlaces allí.

Teofía

El tipo de ayuda pero no con toda la historia.

Cosmas Zachos

WP debería ayudarte. Me pregunto si tienes claras las funciones de Green .

Teofía

Gracias, el último enlace es bastante bueno! Entonces, ¿es correcta esta ecuación?

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) = \frac{- i}{ℏ} d (X_{F} - X) d (t_{F} - t)

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$ o debería ser la función verde en lugar de

K_{0}

$K_0$ ?

Teofía

Pero todavía no veo cómo debe desaparecer el lado derecho, en particular, el término

V (x_{f} t_{f}) ϕ (x_{f} t_{f})

$V(x_f t_f)\phi(x_f t_f)$

Respuestas (1)

Propagador en el mecanismo cuántico integral de trayectoria como función de Green de la ecuación de Schrödinger

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/65489/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 y enlaces allí.
WP debería ayudarte. Me pregunto si tienes claras las funciones de Green .
Gracias, el último enlace es bastante bueno! Entonces, ¿es correcta esta ecuación? $\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) = \frac{- i}{ℏ} d (X_{F} - X) d (t_{F} - t)$ $\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = \frac{-i}{\hbar} \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \end{equation}$ o debería ser la función verde en lugar de $K_0$ ?
Pero todavía no veo cómo debe desaparecer el lado derecho, en particular, el término $V(x_f t_f)\phi(x_f t_f)$

Cosmas Zachos · Answer 1

Lo siento, no tengo acceso a Ryder y, de todos modos, sería reacio a leerlo contigo. Solo señalaré que es agresivamente confuso estar llamando $K_0$ el propagador, ya que resuelve la TDSE libre no homogénea, por lo que es una función de Green, normalmente llamada G , que las tres respuestas enlazadas se esfuerzan por contrastar con el propagador, la solución fundamental de la ecuación homogénea.

Podría, o no, ayudarlo notar que, si, en cambio, supusiera que es una función de Green,

\begin{matrix} (5) & \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}} k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) = i ℏ d (X_{F} - X) d (t_{F} - t) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2}K_0(x_f t_f;x t)+ i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} K_0(x_f t_f;x t) = i\hbar \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) \tag{5} \end{equation}$ entonces insertando (2) en el lado izquierdo de (1), solo, en virtud de (3), obtienes directamente

(\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}}) ψ (X_{F} t_{F}) = - \frac{i}{ℏ} \int d X d t (\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X_{F}^{2}} + i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{F}}) k_{0} (X_{F} t_{F}; X t) V (X, t) ψ (X t) = \int d X d t d (X_{F} - X) d (t_{F} - t) V (X, t) ψ (X t) = V (X_{F} t_{F}) ψ (X_{F} t_{F}),

$\begin{equation} \left(\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \right ) \psi(x_f t_f)\\ = - \frac{i}{\hbar}\int dx dt \; \left(\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx_f^2} + i \hbar \frac{\partial}{\partial t_f} \right ) K_0(x_f t_f;x t)V(x,t)\psi(xt) \\ = \int dx dt \; \delta(x_f-x)\delta(t_f-t) V(x,t)\psi(xt)=V(x_ft_f) \psi(x_ft_f), \end{equation}$ entonces obtienes el lado derecho de (1), es decir, derivas (1).

Puede, o no, elegir trabajar hacia atrás.

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Cosmas Zachos

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