Propagador de Integral de trayectoria

Tienes razón en que el propagador de Feynman para un campo de espinor es de hecho$(i \gamma^\mu D_\mu - m)^{-1}$. La parte difícil es interpretar exactamente lo que significa "inverso". No solo significa que inviertes las matrices gamma (aunque lo haces). El operador derivado también se está invirtiendo. Es decir, si definimos una función$G(y, x) := (i \gamma^\mu D_\mu - m)^{-1}$, entonces

$$\int d^4x\, G(y, x)\, f(x) = g(y) \implies (i \gamma^\mu D_\mu - m) g(x) = f(x).$$

Puede ser útil pensar en$G(x, y)$como si fuera una matriz (ya que tiene dos "índices"$x$y$y$) y$f(x)$como si fuera un vector (ya que tiene un "índice"$x$). Entonces la integración termina$x$es como la multiplicación de matrices, y$G(y, x)$es como la matriz inversa de la "matriz" de dimensión infinita ( no 4x4)$(i \gamma^\mu D_\mu - m)$.

A partir de esto, no debería ser demasiado difícil ver que

$$(i \gamma^\mu D_\mu - m)\, G(x, y) = \delta^4(x - y). \qquad \qquad (1)$$ Así que cuando decimos que $G$es el "inverso" de $(i \gamma^\mu D_\mu - m)$, queremos decir que es la función de Green para el operador diferencial, no solo la matriz inversa de las matrices gamma. Ahora usamos la invariancia traslacional para darnos cuenta de que $G(x, y)$en realidad solo depende del único argumento $x - y$. Si transformamos Fourier a ambos lados, la integral sobre $x$convierte esto en una convolución de $(i \gamma^\mu D_\mu - m)$y $G$. La transformada de Fourier de una convolución es simplemente el producto de las transformadas de Fourier, por lo que la transformada de Fourier es fácil: $$(-\gamma^\mu p_\mu - m)\, \tilde{G}(k) = 1$$ (dónde $\tilde{G}(k)$ahora es solo una matriz de 4x4, el "1" en el RHS es la matriz de identidad de 4x4, y el LHS solo implica la multiplicación de matrices de 4x4 sobre los índices de espinor). Así que finalmente obtenemos $$\tilde{G}(k) = (-\gamma^\mu p_\mu - m)^{-1},$$ donde el inverso ahora solo significa inversión de matriz 4x4.

La versión TLDR es esta: la transformación de Fourier de una expresión diferencial simplemente la convierte en un producto en el espacio de momento de la FT del operador diferencial y la FT de la función que se está derivando. Y los productos son mucho más fáciles de invertir (solo haces una división) que los operadores diferenciales. Tratar de "invertir" un operador diferencial (es decir, encontrar su función de Green) suele ser muy difícil en el espacio real, pero en el espacio de momentos se vuelve trivial: simplemente se toma el recíproco del operador diferencial transformado de Fourier. Así que básicamente sí, para hacer FT el inverso de un operador, puedes hacer FT ingenuamente con el operador y luego meter ese FT en el denominador.