Ecuaciones de Schwinger-Dyson: derivación de una ecuación de movimiento para ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Question

Ecuaciones de Schwinger-Dyson: derivación de una ecuación de movimiento para ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Física
propagador
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
deberes-y-ejercicios

QuantumEyedea

Estoy considerando la teoría euclidiana de Klein-Gordon, con acción

\begin{matrix} (1) & S_{0} [ϕ] = \frac{1}{2} \int d^{4} X ϕ (X) [- \partial_{X}^{2} + {metro}^{2}] ϕ (X) . \end{matrix}

$S_{0}[\phi] = \frac{1}{2}\int~\mathrm d^{4}x ~\phi(x) \left[ - \partial_{x}^{2} + m^{2} \right] \phi(x).\tag{1}$ Entonces mi función generadora está dada por:

\begin{matrix} (2) & Z_{0} [j] = \int D [ϕ] Exp (- S_{0} [ϕ] + \int d^{4} X ϕ (X) j (X)) . \end{matrix}

$\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right).\tag{2}$

Se supone que debo derivar la siguiente ecuación de movimiento, que involucra la función de dos puntos:
$\begin{matrix} (3) & [- \partial_{y}^{2} + {metro}^{2}] ⟨ ϕ (y) ϕ (X) ⟩ = d^{(4)} (y - X) . \end{matrix}$ $\left[ - \partial_{y}^{2} + m^{2} \right] \langle \phi(y) \phi(x) \rangle = \delta^{(4)}(y-x).\tag{3}$

Me han dicho que haga esto comenzando con la siguiente definición de la función de un punto:

\begin{matrix} (4) & ⟨ ϕ (X) ⟩ = \frac{1}{Z_{0} [0]} \frac{d Z_{0} [j]}{d j (X)} |_{j = 0} \end{matrix}

$\langle \phi(x) \rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}_{0}[0]} \frac{\delta \mathcal{Z}_{0}[J]}{\delta J(x)} \bigg|_{J~=~0} \tag{4}$

Se supone que debo usar la invariancia de la integración funcional bajo las redefiniciones de campo; ES DECIR. si reemplazamos $\phi(x)$ con $\phi^{\prime} = \phi(x) + \epsilon(x)$ .

$\$

He estado buscando en línea y el enfoque habitual que he visto implica mirar la igualdad

\begin{matrix} (5) & \int D [ϕ] Exp (- S_{0} [ϕ]) ϕ (X) = \int D [ϕ^{'}] Exp (- S_{0} [ϕ^{'}]) ϕ^{'} (X) \end{matrix}

$\int \mathcal{D}[\phi] \exp( - S_{0}[\phi] ) \phi(x) = \int \mathcal{D}[\phi^{\prime}] \exp( - S_{0}[\phi^{\prime}] ) \phi^{\prime}(x) \tag{5}$ y realizando una expansión en

ϵ

$\epsilon$ .

¿Cómo harías esto comenzando con $\langle \phi(x)\rangle$ ?

Respuestas (2)

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qmecanico · Answer 1

La fórmula buscada de OP (3) es un caso especial de las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD)

\begin{matrix} (A) & {⟨ Ω | T_{C o v} {F [ϕ] \frac{d S [ϕ; j]}{d ϕ (y)}} | Ω ⟩}_{j} = i ℏ {⟨ Ω | T_{C o v} {\frac{d F [ϕ]}{d ϕ (y)}} | Ω ⟩}_{j} \end{matrix}

$\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(y)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~i\hbar\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(y)} \right\}\right| \Omega \right>_J\tag{A}$

con

\begin{matrix} (B) & F [ϕ] = ϕ (X), \end{matrix}

$F[\phi]~=~\phi(x),\tag{B}$ y donde

T_{c o v}

$T_{\rm cov}$ denota una ordenación temporal covariante, es decir, las diferenciaciones temporales dentro de su argumento deben tomarse después o fuera de la ordenación temporal habitual

T

$T$ .

Las ecuaciones SD. (A) puede probarse:

ya sea por integración formal por partes (suponiendo que no hay contribuciones de límite)
$\begin{matrix} (C) & 0 = \int D ϕ \frac{d}{d ϕ (y)} (F [ϕ] {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [ϕ; j]}) \end{matrix}$ $0~=~\int\! {\cal D}\phi ~\frac{\delta }{\delta \phi(y)}\left( F[\phi]~e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}\right)\tag{C}$ dentro de la integral de trayectoria $\begin{matrix} (D) & \int D ϕ F [ϕ] {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [ϕ; j]} = Z [j] {⟨ Ω | T_{C o v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{j}; \end{matrix}$ $\int\! {\cal D}\phi ~F[\phi]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]}~=~Z[J]~\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\}\right| \Omega \right>_J~; \tag{D}$
o de manera equivalente, mediante redefiniciones/reparametrizaciones de campo infinitesimales formales de las variables de integración en la integral de trayectoria (D) (asumiendo la medida integral de trayectoria ${\cal D}\phi$ es traducción invariante);
o mediante el formalismo del operador, cf. por ejemplo, ref. 1.

Se le pide a OP que use el método 2.

Referencias:

MD Schwartz, QFT y el modelo estándar, 2014; Sección 7.1.

Eso es lo que normalmente publico, no puedo creer que perdí la oportunidad :) +1. Solo una corrección: en realidad no necesitas el término fuente $J$ .

ved · Answer 2

Aquí hay un bosquejo aproximado de cómo va. Algunos factores de yo o algo no se cuidan.

Integral $\mathcal{Z}_{0}[J] = \int \mathcal{D}[\phi]\ \exp^{ i\left( - S_{0}[\phi] + \int ~\mathrm d^{4}x \ \phi(x) J(x)\right)}$ puede evaluarse explícitamente discretizando el espacio-tiempo. Después de discretizar y dividir la integral en intervalos (la forma habitual de evaluación) se obtiene,

$\int dq_1dq_2...dq_N\ exp^{(\frac{i}{2})q.(-\partial^2+m^2).q+iJ.q}$ , dónde $q$ es un elemento de columna en forma de matriz y esta integral se evalúa como $Ne^{-(i/2)J.D.J}$ (integración gaussiana simple con N un factor constante), donde D es el inverso del operador diferencial $(-\partial^2+m^2)$ y usando el $D.D^{-1}=1$ en límite continuo da,

$(-\partial^2+m^2)D(x-y)=\delta^4(x-y)$ .

La definición de función de n puntos es, $\langle\phi(x_1)\phi(x_2).....\phi(x_n)\rangle=\left. \frac{1}{i^n}\frac{\delta^nZ_0}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)....\delta J(x_n)}\right|_{J~=~0}$

Ahora toma, $Z_0(J)=e^{-(i/2)J.D.J}$ con factor N omitido de la definición de función de n puntos y la definición de $Z_0$ .

La función de dos puntos se da como, $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=-\left.\frac{\delta^2Z_0}{\delta J(x)\delta J(y)}\right|_{J~=~0}$ . Haciendo el cálculo con lo dado $Z_0$ y poner $J=0$ rendimientos, $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=iD(x,y)$ de la que vemos $(-\partial^2+m^2)\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta^4(x-y)$ .

Como referencia, consulte el libro qft de Ryder. La función de un punto desaparece de manera idéntica, pero la diferenciación funcional de la expresión nuevamente te da la función de dos puntos.

Veo la lógica. Comienzas con la definición anterior de $< \phi(x) \phi(y) >$ , y obtienes $<\phi(x)\phi(y)> = i D(x,y)$ dónde $D(x,y)$ es definido por $( -\partial^{2} + m^{2} ) D(x,y) = \delta(x-y)$ . Todo esto tiene sentido... pero entonces, ¿por qué me dicen que empiece con $<\phi(x)>$ ?
La función de dos puntos se obtiene a partir de la diferenciación funcional de la función de un punto, por lo que comienza con la función de un punto. Puede consultar el qft de Ryder, capítulo 6 para obtener más detalles. Es mucho mejor hacer la diferenciación funcional en lugar de la redefinición del campo y la expansión en potencia de algún parámetro infinitesimal.

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