Teoría del campo cuántico, resolución de la función delta/verde

Podemos hacer uso de los operadores de proyección

$$\begin{align} & P^{T}_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \\ & P^{L}_{\mu \nu} = \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}}, \end{align}$$ dónde$P^{T}_{\mu \nu}$y$P^{L}_{\mu \nu}$son los proyectores transversal y longitudinal.$P^{T}_{\mu \nu}$y$P^{L}_{\mu \nu}$son los operadores de proyección sobre vectores ortogonales y paralelos a$k^{\mu}$, respectivamente. Puedes comprobar por ti mismo que cumplen las propiedades de los proyectores.

Luego escribimos

$$\begin{align} -(k^{2}-m) g^{\mu \nu} + k^{\mu}k^{\nu} = A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu} \end{align}$$ donde podemos encontrar $$\begin{align} A = -(k^{2} - m^{2}),\ B = m^{2}. \end{align}$$ Ahora, para encontrar el inverso$D_{\mu \nu}(k)$simplemente invertimos el$A$y$B$y luego bajar el$\mu$y$\nu$en$A \cdot P^{T,\mu \nu} + B \cdot P^{L,\mu \nu}$, donde rendimos $$\begin{align} D_{\mu \nu}(k) & = \frac{1}{A} P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{B} P^{L}_{\mu \nu} = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}P^{T}_{\mu \nu} + \frac{1}{m^{2}} P^{L}_{\mu \nu} \\ & = \frac{1}{-(k^{2}-m^{2})}\left( g_{\mu \nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \right) + \frac{1}{m^{2}} \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2}} \\ & = \frac{1}{k^{2}-m^{2}}\left( -g_{\mu \nu} + \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{m^{2}} \right). \end{align}$$ Al resolver este tipo de ecuaciones, siempre es muy útil usar$P^{T}_{\mu \nu}$y$P^{L}_{\mu \nu}$, ya que el proceso de inversión es muy sencillo. Para obtener más referencias, puede consultar "Teoría cuántica de campos: conferencias de Sidney Coleman". En el capítulo 28.6, en realidad presenta el mismo cálculo que hice aquí. También dio las identidades verificando que$P^{T}_{\mu \nu}$y$P^{L}_{\mu \nu}$son de hecho proyectores.