Evalúe el propagador de partículas que giran alrededor de un círculo

Question

Evalúe el propagador de partículas que giran alrededor de un círculo

Física
propagador
integral de trayectoria
mecánica cuántica
deberes-y-ejercicios

físicanoob1000

soy nuevo en integrales de trayectoria

quiero mostrar eso
$⟨ X_{1} | {mi}^{- β H} | X_{2} ⟩ = Z_{0} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} mi X pag (- \frac{metro}{2 β ℏ} [(X_{2} - X_{1}) + norte L)]^{2})$ $\langle x_1|e^{-\beta H}|x_2\rangle\ = \ Z_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}exp\bigg(-\frac{m}{2\beta \hbar}[(x_2-x_1) \ + \ nL)]^2\bigg)$ (dónde $\beta = k_BT , H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}$ , y $Z_0$ es el elemento de la matriz diagonal $\langle x|e^{-\beta H}|x\rangle$ para una partícula libre) para una partícula que se mueve en un círculo de longitud $L$ tal que los caminos pueden enrollarse un número n de veces a su alrededor, y el camino $x(\tau)$ para $0<\tau<\beta \hbar$ satisface las condiciones de frontera $x(0)=x_1, x(\beta \hbar)=x_2$ , por escrito $X (τ) = X_{1} + \frac{τ}{β ℏ} [(X_{2} - X_{1}) + norte L)]^{2} + s (τ),$ $x(\tau) = x_1\ + \frac{\tau}{\beta \hbar}[(x_2-x_1) \ + \ nL)]^2\ +\ s(\tau),$ dónde $s(\tau)$ satisface la condición de contorno $s(0)=0$ , $s(\beta \hbar)=0$ y no se envuelve alrededor del círculo.

La acción euclidiana cuando se evalúa es

S [X (τ)] = \frac{metro}{2 β ℏ} [(X_{2} - X_{1}) + norte L)]^{2} + \int_{0}^{β ℏ} d τ \frac{metro}{2} (\frac{d s}{d τ})^{2}

$S[x(\tau)] = \frac{m}{2\beta \hbar}[(x_2-x_1) \ + \ nL)]^2 \ +\ \int_{0}^{\beta \hbar}d\tau\frac{m}{2}\bigg(\frac{ds}{d\tau}\bigg)^2$

Mi primer pensamiento es simplemente usar la fórmula del propagador

⟨ X_{1} | {mi}^{- β H} | X_{2} ⟩ = norte \int D X (τ) {mi}^{- \frac{1}{ℏ} S [X (τ)]}

$\langle x_1|e^{-\beta H}|x_2\rangle\ = N\int Dx(\tau)e^{-\frac{1}{\hbar}S[x(\tau)]}$

pero con tiempo imaginario $\tau=it$ de $0$ a $\beta$ .

Creo que el segundo término de S debería separarse como $Z_0$ con N pero no estoy seguro de cómo es el elemento diagonal, ¿se debe a las condiciones de contorno de s (t) que representan ir de x a x? y no estoy seguro de cómo puedes convertir la otra parte de la integral en una suma.

pregunta completa - http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/courses/C6/C6web2012/PS1.pdf q6c

Emilio Pisanty

Extremadamente relacionado: Los elementos de la matriz de representación de posición del propagador de una partícula en un anillo . Ese propagador es una bestia peluda para tiempos reales, pero al menos lo estás usando en momentos imaginarios donde converge la serie. ¿Qué es exactamente lo que quieres saber sobre ese propagador?

físicanoob1000

Simplemente no estoy seguro de cómo pasar de la forma integral del propagador a la forma de suma, creo que entiendo cómo obtener

Z_{0}

$Z_0$ pero no la suma

Emilio Pisanty

Sí, no estoy tan seguro de cómo manejar la integral de ruta allí. Sin embargo, según recuerdo, las referencias de Schulman en la pregunta vinculada lo tratan con gran detalle.

Respuestas (2)

Evalúe el propagador de partículas que giran alrededor de un círculo

Extremadamente relacionado: Los elementos de la matriz de representación de posición del propagador de una partícula en un anillo . Ese propagador es una bestia peluda para tiempos reales, pero al menos lo estás usando en momentos imaginarios donde converge la serie. ¿Qué es exactamente lo que quieres saber sobre ese propagador?
Simplemente no estoy seguro de cómo pasar de la forma integral del propagador a la forma de suma, creo que entiendo cómo obtener $Z_0$ pero no la suma
Sí, no estoy tan seguro de cómo manejar la integral de ruta allí. Sin embargo, según recuerdo, las referencias de Schulman en la pregunta vinculada lo tratan con gran detalle.

anon1802 · Answer 1

Por lo que puedo decir, usted tiene dos preguntas. Las responderé por separado. A lo largo voy a establecer $\hbar = 1$ .

1) ¿De dónde sale la suma? $\sum_{n = -\infty}^{\infty}$ ¿viene de?

La forma integral de trayectoria estándar para el propagador de una partícula libre es

⟨ X_{2} | {mi}^{- β H} | X_{1} ⟩ = \int D X (τ) Exp (- S_{mi} [X (τ)]),

$\langle x_{2} | e^{-\beta H} | x_{1} \rangle = \int \mathcal{D} x(\tau) \exp(-S_{E}[x(\tau)]),$

donde la integral recorre todos los caminos $x(\tau)$ satisfaciendo las condiciones de frontera $x(0) = x_{1}$ y $x(\beta)=x_{2}$ , y $S_{E}$ es la acción euclidiana.

El quid de esta respuesta se basa en el hecho de que en la integral de trayectoria integramos sobre todas las trayectorias posibles que satisfacen las condiciones de contorno dadas. ¿Cuál es el cambio de variables de $x(\tau)$ a $s(\tau)$ hace es hacer más explícito cómo contamos estos caminos.

En la pregunta definimos una variable $s(\tau)$ que satisface $s(0) = s(\beta) = 0$ . Además de estas condiciones de contorno, $s(\tau)$ es completamente irrestricto (es decir, no está restringido a una topología circular). Ahora, para cada elección de $s(\tau)$ , podemos definir un camino

X_{norte} (τ) = X_{1} + \frac{τ}{β} [(X_{2} - X_{1}) + norte L] + s (τ),

$x_{n}(\tau) = x_{1} + \dfrac{\tau}{\beta} \left[(x_{2}-x_{1}) + n L \right] + s(\tau),$

por algún entero $n$ , y este será un camino válido para la integral de camino, ya que la topología circular significa que identificamos puntos módulo $L$ . Además, entre las opciones de $s(\tau)$ y $n$ , hemos enumerado todos los caminos posibles que satisfacen las condiciones de contorno dadas.

Por lo tanto, en la expresión del propagador, tenemos que integrar sobre $s(\tau)$ y suma $n$ para asegurarnos de tener en cuenta todos los caminos posibles $x(\tau)$ . Esto nos da la expresión

⟨ X_{2} | {mi}^{- β H} | X_{1} ⟩ = \sum_{norte} \int D s (τ) Exp (- S_{mi} [X_{norte} (τ)]),

$\langle x_{2} | e^{-\beta H} | x_{1} \rangle = \sum_{n} \int \mathcal{D} s(\tau) \exp(-S_{E}[x_{n}(\tau)]),$

con $x_{n}(\tau)$ dado como arriba.

2) ¿Por qué debería $Z_{0}$ Sea el elemento de la matriz diagonal del propagador en $\mathbb{R}$ ?

Como dijiste en tu pregunta, la acción euclidiana $S_{E}[x_{n}(\tau)]$ se separa en dos partes, dada por

S_{mi} [X_{norte} (τ)] = S_{norte} + S_{mi} [s (τ)],

$S_{E}[x_{n}(\tau)] = S_{n} + S_{E}[s(\tau)],$

dónde $S_{n} = \frac{m}{2 \beta} \left[ (x_{2} - x_{1}) + n L \right]^{2}$ . Esta separación es útil porque separa la dependencia de $n$ y $s(\tau)$ .

Desde $S_{n}$ es una constante, podemos factorizarla fuera de la integral de trayectoria. Esta parte da el sumando en la expresión del propagador que está tratando de derivar.

La parte restante es

\int D s (τ) Exp (- S_{mi} [s (τ)]),

$\int \mathcal{D} s(\tau) \exp(-S_{E}[s(\tau)]),$

donde recordamos que el camino $s(\tau)$ tiene las condiciones de frontera $s(0) = s(\beta) = 0$ , pero por lo demás no tiene restricciones (es decir, no está restringida a una topología circular). Pero esto es precisamente lo que escribiríamos para el propagador de una partícula libre en una dimensión moviéndose desde $x=0$ a $x=0$ en tiempo imaginario $\beta$ ! Y de la invariancia traslacional, esto no debería depender del hecho de que la partícula comienza y termina en $x=0$ , solo el hecho de que el camino es periódico. Por lo tanto, la parte restante nos da $Z_{0} = \langle x | e^{-\beta H} | x \rangle$ para una partícula libre que se mueve sobre la línea real. Este es el elemento de matriz "diagonal" del propagador porque es simplemente el propagador $\langle x_{2} | e^{-\beta H} | x_{1} \rangle$ evaluado en $x_{1} = x_{2} = x$ .

Sunyam · Answer 2

Estoy en el móvil, por lo que no podré dar ecuaciones, estará muy ondulado a mano. En caso de que necesite más explicación, lo elaboraré. Para espacios de topologías no triviales como el caso que se solicita aquí, para obtener una representación integral adecuada de la ruta continua, debe usar una resolución de identidades que se ajuste al espacio de estado en consideración, es decir, evitar la doble contabilidad. Además, tendrá que usar para este caso la fórmula de suma de Poisson. Puede encontrar una muy buena discusión al respecto en los libros de Kleinert o Schulman.

Hola, no estoy seguro de si debería usar ese enfoque, la pregunta es de aquí q6- www-thphys.physics.ox.ac.uk/courses/C6/C6web2012/PS1.pdf ,

Evalúe el propagador de partículas que giran alrededor de un círculo

físicanoob1000

Emilio Pisanty

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Emilio Pisanty

Respuestas (2)

anon1802

Sunyam

físicanoob1000

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