¿Qué es el propagador en el caso de partículas libres? (Integrales de trayectoria con término fuente)

Jean Zinn-Justin tiene una excelente forma de enseñar técnicas de integrales de trayectoria que comienzan con variables aleatorias de dimensión finita (a veces llamadas "campos de dimensión 0"). Aquí, debe pensar en estos como aproximaciones de celosía discreta a campos continuos. En el espíritu del enfoque de Zinn-Justin, describiré cómo se hace esto para el sistema de partículas libres 1D que describiste anteriormente.

Asumiendo que$q(t)$se desvanece en el pasado infinito y el futuro infinito, su Lagrangiano$L[q]=\int dt\frac{1}{2}m\dot q^2(t)$se puede reescribir como$\int dt\big[-\frac{1}{2}m q \ddot q\big]$, utilizando la integración por partes. En esta notación, puedes pensar en esto como un bilineal$\int dt\big[\frac{1}{2}mq(t)(-\partial_t^2)q(t)\big]=\frac{1}{2}m\langle q,-\partial_t^2q\rangle=\frac{1}{2}q^T A q$. La última expresión utiliza la notación del álgebra lineal de dimensión finita para desmitificar temporalmente algunos de los pasos. Aquí,$A$se considera como una especie de realización matricial del operador lineal$-m\partial_t^2$. También podemos suponer que$A=A^T$.

La forma de derivar la expresión explícita para el funcional generador.$Z[J]$es completando el cuadrado en la integral de trayectoria, realizando un cambio lineal de variables. Para hacer esto, necesitamos usar alguna noción del inverso de$A$:

$$\begin{align*} \int \mathcal D q \exp\bigg[-\frac{1}{2}q^TAq - J\cdot q\bigg]=&\int\mathcal D q\exp\bigg[-\frac{1}{2}(q+A^{-1}J)^TA(q+A^{-1}J)+\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\ =&\int\mathcal Dq\exp\bigg[-\frac{1}{2}q^T A q\bigg]\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\ =& Z_0\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J^T\bigg]. \end{align*}$$ Para completar la derivación, necesitamos resolver (y elegir una convención) para $A^{-1}$, que se llama la función de Green. Esto es complicado en general, debido a la existencia de funciones armónicas. $f$que satisfacen $Af=0$(es decir $A=-m\partial_t^2$tiene un núcleo no trivial, que consta de funciones constantes y un término de deriva). Físicamente, puede interpretar estas funciones armónicas de manera más general como radiación de fuentes ubicadas en un pasado distante (o menos físicamente, en un futuro lejano), y conducen a la distinción entre funciones de Green avanzadas y retardadas. En general, es convencional elegir la parte armónica de la función de Green para que las condiciones de contorno se satisfagan fácilmente con combinaciones linealmente independientes de la función de Green. Por ejemplo, la función de Green retrasada está determinada por la condición de causalidad de que debería desaparecer en el pasado lejano.

Naturalmente, el espacio de permitido$J$está restringida al dominio en el que$A^{-1}$tiene sentido. En la práctica, el$J$'s satisfacen las leyes de conservación y deben decaer lo suficientemente rápido en los límites.

A un nivel puramente formal, calcular derivadas funcionales con respecto a$J$de$Z[J]$es exactamente análoga a calcular derivadas parciales con respecto a$\vec J$de alguna aproximación discreta de dimensión finita a la función de partición: en notación económica de dimensión finita,$\frac{1}{Z_0}\frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}Z[ J]\Big|_{J=0}:= \frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}\exp\Big[\frac{1}{2}J_i A_{ij}^{-1}J_j\Big]\Big|_{J=0}=\frac{\delta}{\delta J_1}\frac{1}{2}(J_iA_{i2}^{-1}+A_{2i}^{-1}J_i)\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}^{-1}J_j)\Big|_{J=0}=\frac{1}{2}(A_{12}^{-1}+A_{21}^{-1})\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}J_j)\Big|_{J=0}+\mathcal O (J^2)\Big|_{J=0}=A_{12}^{-1}=:G(\tau_1,\tau_2)$.

La función de Green puede verse como una solución elemental a la versión no homogénea de una ecuación diferencial lineal. La función de correlación de 2 puntos en su ejemplo resulta ser una función de Green para la ecuación de difusión 1D, pero hay cierta libertad para decidir sobre la función de Green dependiendo de la cantidad de modos armónicos independientes. Incluso la función de correlación depende de cómo se defina el espacio de campos sobre el que se integra. Una forma común de elegir una función de Green es imponer condiciones de contorno que se desvanecen. Para el movimiento browniano, la elección de las condiciones de contorno puede interpretarse como una elección del marco de referencia.

Ahora un ejemplo explícito. Considere una 'cuerda' elástica fluctuante con$q(0)=q(L)=0$. Para encontrar la función de correlación, primero elegimos una base adecuada para describir las fluctuaciones: aquí, podemos expandir las configuraciones$q(s)$en modos de Fourier$S_n(s)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi s}{L})$, dónde$n\in\mathbb N$. En esta base, el operador$-\partial_s^2$actúa como$-\partial_s^2 S_n(s)=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2S_n(s)$. Por lo tanto, se puede invertir definiendo$(-\partial_s^2)^{-1} S_n(s)=\frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s)$, que se extiende por linealidad. Para encontrar la representación del kernel integral de$(-\partial_s^2)^{-1}$en el espacio de posición, necesitamos evaluar

$$\begin{align*} \sum_{n\geq 1} \frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s')S_n(s)=-\frac{L}{\pi^2}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}\bigg[\cos(\frac{\pi n}{L}(s+s'))-\cos(\frac{\pi n}{L}(s-s'))\bigg] \end{align*}$$ En el límite de grandes $L$, la suma sobre $n$puede ser reemplazada por una integral sobre $\omega\equiv\frac{\pi n}{L}$: $$\begin{align*} G(s,s')= -\int_{\frac{\pi}{L}}^\infty\frac{d\omega}{\pi}\frac{1}{\omega^2}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg] \end{align*}$$ Esta integral se puede realizar en general tomando límites apropiados de sumas de integrales de contorno (donde la suma de integrandos, restringida a la línea real, debe aproximarse a la función original $\frac{1-\cos(x)}{x^2}$). Aquí, una secuencia válida de aproximaciones es $$\begin{align*} G_\epsilon(s,s')=-\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\epsilon}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg],\quad \epsilon\rightarrow 0^+. \end{align*}$$ Para realizar las integrales de contorno, la función anterior se puede dividir en partes de frecuencia positiva y negativa, que tienen polos en $\omega=\pm i\epsilon$. El resultado de la integración limitante cuando $s \geq s'$es $G(s,s')=s'$, o en general $G(s,s')=\min(s,s')$de la simetría entre $s$y $s'$en este caso (y también desde $s$y $s'$son positivos). [Nótese que este resultado es válido en el límite como $L$se acerca al infinito. Cerca del límite opuesto, una fórmula similar para $G(s,s')$mantiene, excepto con $s\mapsto L-s$.]