Ley del Inverso del Cuadrado en dimensiones DDD (dos casos)

Question

Ley del Inverso del Cuadrado en dimensiones DDD (dos casos)

Física
propagador
greens-funciones
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
deberes-y-ejercicios

artem alexandrov

Estoy leyendo A. Zee "Teoría cuántica de campos en pocas palabras" y he resuelto el problema sobre la ley del cuadrado inverso en $D$ dimensiones. Desafortunadamente, me he confundido con algunos resultados. Permítanme describir mis derivaciones brevemente y centrarme en los resultados. La energía de interacción tiene la siguiente forma:

mi (r) = - \int \frac{d^{D} k}{(2 π)^{D}} \frac{{mi}^{i k \cdot r}}{k^{2} + {metro}^{2}} \equiv - W (r),

$E(r)=-\int\frac{d^Dk}{(2\pi)^D}\frac{e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}}{k^2+m^2}\equiv -W(r),$ dónde

W (r)

$W(r)$ se puede calcular usando la parametrización de Schwinger (ver Wiki) con el parámetro

A = k^{2} + m^{2}

$A=k^2+m^2$ . Entonces, he obtenido el resultado:

W (r) = \frac{1}{(2 π)^{D / 2}} {(\frac{metro}{r})}^{D / 2 - 1} k_{D / 2 - 1} (metro r),

$W(r)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\left(\frac{m}{r}\right)^{D/2-1}K_{D/2-1}(mr),$ dónde

K_{ν}

$K_{\nu}$ es la función de Bessel de segundo tipo. El resultado demuestra la respuesta correcta para portador de fuerza masiva (

m \neq 0

$m\neq 0$ ) en 3D pero no entiendo cómo obtener

W (r)

$W(r)$ en caso 2D con soporte masivo porque

K_{0} (m r) \neq \ln (m r)

$K_0(mr)\neq \ln(mr)$ . Además, mi cálculo falla en el caso de un portador sin masa (

m = 0

$m=0$ ), es fácil verlo. ¿Alguien puede explicar cómo evaluar las respuestas correctas para el portador sin masa a partir de mi cálculo?

AccidentalFourierTransformar

(m / r)^{D / 2 - 1} = 1 + \frac{ϵ}{2} \log (m / r)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , con

d = 2 + ϵ

$d=2+\epsilon$ .

artem alexandrov

como la regularización dimensional?

artem alexandrov

Bien, déjame probar esto. yo amplío

K_{ν}

$K_{\nu}$ y

(m / r)

$(m/r)$ en serie. Así, obtengo:

k_{0} (metro r) - k_{0} (metro r) registro (\frac{metro}{r}) ϵ + . . .

$K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ Y...? No es fácil para mí ver

\log (r)

$\log(r)$ ley para portadores sin masa.

Zohaib Aarfi

Deberías verlo en la teoría clásica de campos de Mark Burgess. Él ha dado estas soluciones.

artem alexandrov

Estimado Zohaib, ¿puede ser más específico? ¿Campos covariantes clásicos por M. Burgess?

Respuestas (2)

Ley del Inverso del Cuadrado en dimensiones DDD (dos casos)

$(m/r)^{D/2-1}=1+\frac\epsilon2\log(m/r)$ , con $d=2+\epsilon$ .
Bien, déjame probar esto. yo amplío $K_{\nu}$ y $(m/r)$ en serie. Así, obtengo: $k_{0} (metro r) - k_{0} (metro r) registro (\frac{metro}{r}) ϵ + . . .$ $K_{0}(mr)-K_{0}(mr)\log\left(\frac{m}{r}\right)\epsilon+...$ Y...? No es fácil para mí ver $\log(r)$ ley para portadores sin masa.
Deberías verlo en la teoría clásica de campos de Mark Burgess. Él ha dado estas soluciones.
Estimado Zohaib, ¿puede ser más específico? ¿Campos covariantes clásicos por M. Burgess?

artem alexandrov · Answer 1

¡Gracias, AccidentalForierTransform y Sean E. Lake!

(1) Para obtener la respuesta correcta para el portador sin masa, se puede usar la parametrización de Schwinger y obtener la siguiente expresión:

mi (r) = - \frac{2^{D / 2 - 1}}{r^{D - 2}} Γ (\frac{D}{2} - 1) \frac{1}{2 (2 π)^{D / 2}} .

$E(r)=-\frac{2^{D/2-1}}{r^{D-2}}\Gamma\left(\frac{D}{2}-1\right)\frac{1}{2(2\pi)^{D/2}}.$ (2) Desafortunadamente, ambos casos (portadores masivos y sin masa) tienen "mal comportamiento" para

D = 2

$D=2$ . La función gamma tiene el polo en

z = 0

$z=0$ . Para solucionarlo, se puede utilizar la regularización dimensional: replace

D \to D + 2 ϵ

$D\rightarrow D+2\epsilon$ . Así, la medida de integración es cambiar:

\frac{d^{D} k}{(2 π)^{D}} \to \frac{d^{D + 2 ϵ} k}{(2 π)^{D + 2 ϵ}},

$\frac{d^{D}k}{(2\pi)^D}\rightarrow \frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}},$ pero con este reemplazo, se debe corregir el parámetro de dimensionalidad y regularización

μ

$\mu$ . Finalmente, la medida tiene la siguiente forma:

\frac{d^{D + 2 ϵ} k}{(2 π)^{D + 2 ϵ}} m^{- 2 ϵ} .

$\frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}}\mu^{-2\epsilon}.$ Esta regularización proporciona la respuesta físicamente correcta. La función gamma debe expandirse en serie:

Γ (ϵ) \approx \frac{1}{ϵ} - γ .

$\Gamma(\epsilon)\approx\frac{1}{\epsilon}-\gamma.$ y la fraccion

(1 / (μ r))^{ϵ}

$(1/(\mu r))^{\epsilon}$ también debería expandirse:

{(m r)}^{- ϵ} \approx 1 - en (m r) ϵ .

$\left({\mu r}\right)^{-\epsilon}\approx 1 - \ln (\mu r)\epsilon.$

Teniendo en cuenta todo lo anterior, la respuesta es

mi (r) = \frac{1}{2 π} en (m r),

$E(r)=\frac{1}{2\pi}\ln(\mu r),$ que tiene la dimensionalidad correcta (en contraste con

- \ln r / (2 π)

$-\ln r/(2\pi)$ que es "no físico" debido al logaritmo de longitud).

Comentarios :

regularización dimensional no cambia el carácter de singularidad de la función gamma para $D=2$ porque la expansión contiene el polo en 0.
la parametrización de Schwinger es una forma muy conveniente de calcular el tipo de propagador porque permite evitar la farsa con coordenadas hiperpséricas
por supuesto, estos trucos son fáciles para los buenos físicos, pero no he encontrado ninguna explicación y solución para este problema.

Ver también: formas limitantes de las funciones de Bessel en textos estándar. por ejemplo, dlmf.nist.gov/10.30

mira por dónde · Answer 2

También estoy leyendo el libro de Zee. Al intentar esta pregunta, tomé un atajo y consideré el caso sin masa $(m=0)$ desde el principio. Entonces, noté que $E(r)$ se reduce a la función de Green para el $D$ ecuación de Laplace bidimensional. Es bien sabido, o por la Ley de Gauss, que se puede encontrar que $\nabla E(r) = \frac{1}{S_{D-1}} \propto 1/r^{D-1}$ , dónde $S_{D-1}$ es el área de la superficie de un $D$ -esfera dimensional. De este modo, $E(r)\propto 1/r^{D-2}$ . En el caso de $D=2$ , $\nabla E(r) \propto 1/r \implies E(r) \propto \ln(r)$ .

Si desea ver los cálculos para el caso D-dimensional, notifíqueme
Además, su respuesta no es completamente correcta. De hecho, calcula la función de registro del argumento con dimensionalidad de longitud. El argumento de las funciones de registro debe ser adimensional

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Sean E. Lago

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