Resolviendo x+4−−−−−√−2=xx+4−2=x\sqrt{x+4}-2 =x para x≠0x≠0x ≠ 0.

Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación (como lo hiciste válidamente en tu primer paso) crea potencialmente soluciones extrañas. Entonces, hiciste lo correcto al conectar las soluciones candidatas en la ecuación original.

Y sí, la solución candidata$x=-3$es extraño (violando la condición implícita de la ecuación dada de que$x+2$es no negativo) y debe descartarse, dejando$x=0$como única solución real.

Sin embargo, las soluciones extrañas no son "hechos absurdos" y, de hecho, son un lugar común. En general, al resolver ecuaciones, a menos que se haya asegurado de que cada paso sea "reversible", debe filtrar cualquier solución extraña .

En lugar de "hecho absurdo" simplemente decimos que la ecuación no tiene solución (por$x\ne 0$).

Una condición implícita de la ecuación es que$x+2\geq 0$.

El significado convencional del símbolo de la raíz cuadrada es la raíz cuadrada no negativa .

El problema surge cuando elevas al cuadrado (o elevas a potencias pares) ambos lados de una ecuación al tratar de resolverla. si empiezas con$x = a$, pero luego lo elevas al cuadrado, terminas con$x^2 = a^2$. Esa segunda ecuación, resuélvela así:$x^2 - a^2 = 0 \implies (x+a)(x-a) = 0$- tiene raíces de$x = \pm a$, y claramente uno de ellos no es aceptable ya que comenzaste con$x = a$(raíz única). Es sólo un simple artefacto del proceso.

Estas raíces "extra" se llaman raíces redundantes o extrañas y deben ser rechazadas. Debe probar las raíces que obtenga después de elevar al cuadrado con la ecuación original y descartar las que no satisfagan la ecuación original.

Ahora debería poder ver lo que está pasando aquí.$x =-3$"satisface" la ecuación original solo si toma el enfoque no estándar de permitir que la raíz cuadrada devuelva una raíz negativa (que no es el significado típico).

No hay solución (por$x\neq 0$), y su razonamiento es correcto.

La razón por la que surge esto es porque elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación no es un paso reversible: no podemos hacer raíces cuadradas en ambos lados de una ecuación, porque necesitaríamos tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa .

Puedes darle un poco más de sentido a$x=-3$como respuesta al notar que$(x+4)^2=(-1)^2$. Si$\sqrt{}$significaba "raíz cuadrada negativa" entonces$x=-3$sería una solución. Sin embargo, eso no es lo que indica el símbolo.

Un ejemplo más trivial de hacer algo irreversible a una ecuación que permitirá soluciones inválidas que deben verificarse con la ecuación original es multiplicar todo por$0$. Por ejemplo, si tratamos de resolver$2x=4$multiplicando por$0$, obtenemos$0=0$, lo cual es cierto para cualquier valor de$x$, pero acabamos de admitir infinitas soluciones (cada valor de$x$otro que$2$) que no resuelven la ecuación original.

Podemos reducir esto a un ejemplo muy simple.

Ahora, sabemos con certeza que esto no es posible, ya que ese símbolo$\sqrt{x}$se define como el número positivo que cuadra a$x$. Como se trata de un "hecho absurdo", podemos decir que esta ecuación no tiene solución.

Sin embargo, si intentamos ingenuamente aislar$x$al elevar al cuadrado ambos lados (porque aprendimos que el cuadrado y la raíz cuadrada son opuestos*), sucede algo. La ecuación se convierte

que ya no es absurdo, y ya no tiene soluciones. De hecho,$x=1$es (obviamente) una solución a esta ecuación! ¿Cual es el trato?

Cuando elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, en realidad cambiamos la ecuación de alguna manera fundamental; cuando hacemos algo como sumar o restar un número, o multiplicar o dividir por un número distinto de cero, no cambiamos la ecuación por completo. Entonces, parece bastante valioso saber qué operaciones cambiarán una ecuación (y cómo) para que podamos ajustarla.

Si una operación puede convertir dos valores diferentes en el mismo valor, entonces puede cambiar la ecuación. La función de elevar al cuadrado tiene esta propiedad, porque

Usando nuestra "solución" anterior en la ecuación absurda, obtenemos un absurdo bastante concreto

pero al elevar al cuadrado esa ecuación se obtiene el enunciado verdadero

y de ahí vino nuestra falsa solución. Los dos lados de la ecuación eran diferentes, pero elevar al cuadrado puede convertir números diferentes en el mismo número, haciendo una igualdad donde no la había.

Afortunadamente, es fácil ajustar esto: solo verifique todas nuestras soluciones en la ecuación original. Si obtenemos algo absurdo, simplemente tiramos esa solución, y las que funcionan son las que conservamos.

* Hay muchas funciones que son "inversas" entre sí en un sentido limitado que no siempre se explica bien. Incluso las potencias e incluso las raíces, exponencial y logaritmo, trigonometría y trigonometría inversa, etc. son todos ejemplos de esto, y debe tener cuidado con la forma en que usa cualquiera de estos en el proceso de resolver una ecuación, no sea que cree o destruya soluciones sin dándose cuenta!