Estoy tratando de aprender a probar por inducción.

Me parece que interpretas que la suma es incorrecta.

Pero, ha confirmado correctamente que la fórmula es correcta para$n=1.$

Puedes continuar desde donde lo dejaste.

Para$n=k$, usted obtiene

Entonces para$n=k+1$, usted obtiene

Esto significa que si la afirmación es correcta para$n=k$, entonces también es correcto para$n=k+1$.

Luego, por inducción, ya está.

Dejar$k\in\Bbb N$y supongamos que

Otras respuestas se centran en el paso inductivo (que casi siempre es la parte más difícil). Pero voy a afirmar que su paso básico también necesita corrección. Usted escribe (se muestra en una línea por brevedad):

Las siguientes observaciones son cosas que comúnmente necesito señalar a mis alumnos:

• ¿Qué hay en el lado izquierdo de ese signo igual inicial? No puede comenzar una declaración con un símbolo de relación. No escribirías una declaración "$= 7$" ("es igual a 7"); ese es un fragmento de oración, no comunica ninguna información y debe corregirse.
• Relacionado: ¡La fórmula del teorema tiene dos lados! Ha demostrado (una vez que se corrige lo anterior) que cuando$n = 1$, el lado derecho es igual a$6$. ¿Pero es lo mismo que el lado izquierdo? ¿Son realmente iguales? Queda por verificar.

Personalmente, al probar fórmulas de suma, me parece más claro escribir relaciones encadenadas para los lados izquierdo y derecho por separado, y luego confirmar que tienen el mismo valor. (Y, por supuesto, en la pizarra muchos los abrevian como LHS y RHS). En este caso, debería poder escribir algo como:

Cuando$n = 1$:

• El lado izquierdo de la fórmula es$1+\sum_{i=1}^1 5^i = ... = 6$.
• El lado derecho de la fórmula es$\frac{(5^{1+1})-1}{4} = ... = 6$.
• Entonces la igualdad es verdadera cuando$n = 1$.