¿Cómo te acercas al completar el cuadrado?

Si METRO = 3 X 2 − 8 X y + 9 y 2 − 4 X + 6 y + 13 , dónde X , y ∈ R , entonces METRO debe ser:

un positivo b) negativo C) 0 d) un número entero

De alguna manera logré resolverlo completando el cuadrado, pero para hacerlo, me tomó mucho tiempo y no estoy seguro si cada vez podría resolver esos problemas.

Toda esta expresión se puede escribir como:

2 ( X − 2 y ) 2 + ( X − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2
lo que implica METRO es positivo.

Mi punto es que a veces tengo suerte y podría agruparlos en cuadrados, pero otras veces no. ¿Hay alguna técnica/método en particular que siempre funcione?

En segundo lugar, también quiero saber qué observan ustedes al completar los cuadrados.

En mi opinión, el término clave en el que hay que centrarse primero es el 8 X y término. Esto se debe a que parece haber margen de maniobra en todas partes, volver a subir/bajar el X 2 o y 2 términos. Por lo tanto, el primer intento debe ser ( a X + b y ) 2 dónde 2 a b = 8. Luego, trata de hacer que todo encaje alrededor de eso.
Si bien definitivamente debe solidificar su capacidad para elegir un enfoque para las matemáticas difíciles, hay una parte paralela de cualquier problema matemático (especialmente cuando se aplica con unidades en un escenario del mundo real) que respondería completamente a esta pregunta. Siempre debes preguntar ¿Mi respuesta tiene sentido? y eso a menudo significa tener una idea aproximada de pos/negación y/u orden de magnitud. Úselo para validar cualquier cálculo. En este caso las opciones c y d no tienen sentido ( x=0.123, y=0.357). Además c no puede ser verdad sin d. Luego enchúfalo y=1, x=1y obtendrás 3 - 8 + 9 - 4 + 6 + 13 -> positive.

Respuestas (1)

Sin completar el cuadrado, también puedes aplicar la siguiente técnica:

3 X 2 − 4 X ( 2 y + 1 ) + ( 9 y 2 + 6 y + 13 − METRO ) = 0 ⟹ Δ X = 4 ( 2 y + 1 ) 2 − 3 ( 9 y 2 + 6 y + 13 − METRO ) ≥ 0 ⟹ 3 METRO ≥ 11 y 2 + 2 y + 35 ⟹ 3 METRO ≥ 11 ( y + 1 11 ) 2 + 384 11 ⟹ 3 METRO ≥ 384 11 ⟹ METRO ≥ 128 11 > 0.

Oh bien, Δ X es el discriminante de la cuadrática en X . Buena idea
Como has usado Δ(x) ≥ 0, ¿cómo puedes afirmar con seguridad que las raíces de esta cuadrática en x son siempre reales?
@Navdeep Si el discriminante de cuadrático no es negativo, entonces las raíces siempre son reales. Este es el hecho fundamental acerca de las cuadráticas.
Sé este hecho, pero ¿cómo sabes que las raíces no pueden ser imaginarias (en este caso)?
@Navdeep Para optimizar el polinomio, las raíces se consideran reales. Si estamos hablando de números complejos, entonces METRO = 0 puede ser y METRO > 0 puede también ser. Puede ser METRO < 0 también. Así que tu pregunta pierde su significado. Fíjate, al completar el cuadrado asumiste que X , y eran reales. Por lo tanto, recomendaría agregar a su pregunta que X y y son números reales. De lo contrario, el polinomio no se puede optimizar.
@NavdeepSingh: la suposición del problema es que hay números reales X , y tal que la ecuación original es verdadera. ese valor de X es una raíz real de la cuadrática, por lo que la cuadrática tiene al menos una raíz real.
@lonestudent Probé tu técnica para encontrar el valor mínimo de esta expresión: b² + 4c² - 4bc + 8b - 16c Cuando escribí cuadrático en 'b' y resolví Δ≥0, obtuve 4 ≥ 0 Cuando escribí cuadrático en 'c ' y resuelto para Δ≥0, obtuve 16 ≥ 0 Lo que da nada. ¿Qué tengo que hacer?
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