Raíces repetidas de una función

Me he encontrado con preguntas que indican que las funciones tienen raíces repetidas. Allá α se dice que es raíz repetida de F ( X ) si F ( α ) = F ′ ( α ) = 0 .
Si F ( X ) es un polinomio puedo entender por qué lo llaman raíz repetida porque ( X − α ) 2 es un factor de F ( X ) . Pero si F ( X ) no es un polinomio entonces no se puede factorizar F ( X ) , así que alguien puede decirme la razón por la cual α llamado una raíz repetida en tales casos. Gracias de antemano.

Siento que la convención para funciones polinómicas se transfirió a otros.
Existen funciones no polinómicas que satisfacen la propiedad F ( α ) = F ′ ( α ) = 0 . Toma por ejemplo F ( X ) := mi X + mi − X − 2 y α = 0 . Por lo tanto, tiene sentido usar esta terminología también para funciones no polinómicas.

Respuestas (2)

Si puede escribir la función como una serie de Taylor alrededor a , puedes ver que el primer término distinto de cero es a norte ( X − a ) norte , para algunos norte ≥ 2 , y puedes factorizar ( X − a ) 2 . (O posiblemente, todos los términos cero, si la función es la función cero).

Más generalmente, si F ″ ( X ) existe, entonces significa que puedes escribir F ( X ) = ( X − a ) 2 gramo ( X ) para algunos gramo ( X ) continua y definida en a . Así que de nuevo, puedes factorizar ( X − a ) 2 .

Usted puede obtener el resultado aún más fuerte que si F ″ existe, entonces gramo existe si y solo si F ( a ) = F ′ ( a ) = 0.

Esto sigue por inducción del resultado:

Si h ′ existe, entonces gramo 1 ( X ) = h ( X ) − h ( a ) X − a puede hacerse continua sólo definiendo gramo 1 ( a ) = h ′ ( a ) .

Esa es prácticamente la definición de h ′ ( a ) , cual es

h ′ ( a ) = límite X → a gramo 1 ( X ) .

Entonces sí F ( a ) = F ′ ( a ) = 0 , primero aplicar esto a h = F ′ , entonces a h = F .

¿Hay alguna interpretación geométrica?
No que yo pueda pensar. Aparte de que la "planitud" de la pendiente de la curva coincide con el lugar donde la curva toca el X -eje. No tiene mucho significado geométrico en los polinomios. En análisis complejo, tal función no es biyectiva en una vecindad de a , pero eso es una propiedad si F ′ ( a ) = 0 , no tener nada que ver con F ( a ) = 0.

Creo que la terminología "raíz repetida" se refiere correctamente al polinomio de Taylor de F centrado en α de grado norte , es decir

T norte , α ( X ) = ∑ k = 0 norte F ( k ) ( α ) k ! ( X − α ) k .
De hecho, si F ( α ) = F ′ ( α ) = 0 entonces el polinomio T norte , α es divisible por ( X − α ) 2 .

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