Cálculo y el teorema del valor intermedio

La afirmación “hay algo$k\in(a,b)$tal que$f(k)=s$” es más fuerte que la afirmación “hay algo$k\in[a,b]$tal que$f(k)=s$”. Entonces, ¿por qué afirmaríamos una declaración más débil cuando podemos probar fácilmente una más fuerte?

Y, si tiene en mente la afirmación “si$f(a)\leqslant s\leqslant f(b)$, entonces hay algo$k\in[a,b]$tal que$f(k)=x$”, entonces esa afirmación es trivial si$s=f(a)$(sólo toma$k=a$entonces) o si$s=f(b)$(sólo toma$k=b$entonces). Entonces, la parte no trivial es cuando$f(a)<s<f(b)$.

Para su primera pregunta, la declaración podría (no 'debería') referirse al intervalo cerrado$[a,b]$pero cuando$s=f(a)$o$s=f(b)$obviamente podemos tomar$k=a$o$k=b$y esta parte no requiere la suposición de continuidad en absoluto. Por lo tanto, la parte "interesante" del teorema, que requiere el supuesto de continuidad, se trata de un$s$que no es igual a$f(a)$o$f(b)$, y en consecuencia, no necesitamos los puntos finales$a,b$ya no.

Para su segunda pregunta, tenga en cuenta que "$s$tiene que ser menor que ambos$f(a)$y$f(b)$" es una formulación incorrecta. Lo que requerimos de$s$es que sea un "valor intermedio". Piense en un valor intermedio como un número "intermedio" entre$f(a)$y$f(b)$. En otras palabras, si$f(a)<f(b)$entonces para$s$estar entre ellos significa$f(a)<s<f(b)$, y si$f(b)>f(a)$entonces para$s$estar entre ellos significa$f(b)<s<f(a)$. Tenga en cuenta que si$f(a)=f(b)$el teorema no dice nada - tienes que asumir que$f(a)\neq f(b)$para obtener valores intermedios adecuados.