Resolver ODE F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F'(t)

Question

Resolver ODE F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F'(t)

cálculo
matrices
integración
Matemáticas
álgebra lineal
ecuaciones diferenciales ordinarias

Nirvana

Cómo resolver $F(t)=A(t)F'(t) ,F(0)= I\tag 1$

Todos son $3 \times 3$ matrices excepto variable t
A(t) está dada y tiene determinante $0$ . $A(t)=(I-tC_1)^{-1}t^3C_2 \tag 2$
I es una matriz de rotación unitaria constante significa que es una matriz unitaria
$C_1,C_2$ son matrices simétricas de sesgo constante de $0$ determinante
$C_{1} = (\begin{array}{ccc} 0 & - C_{0} & b_{0} \\ C_{0} & 0 & - a_{0} \\ - b_{0} & a_{0} & 0 \end{array}) .$ $C_1=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -c_0 & b_0 \\ c_0 & 0 & -a_0 \\ -b_0 & a_0 & 0 \\ \end{array} \right).$ $C_{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & - (C_{1} - C_{0}) & (b_{1} - b_{0}) \\ (C_{1} - C_{0}) & 0 & - (a_{1} - a_{0}) \\ - (b_{1} - b_{0}) & (a_{1} - a_{0}) & 0 \end{array}) .$ $C_2=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -(c_1-c_0) & (b_1-b_0) \\ (c_1-c_0) & 0 & -(a_1-a_0) \\ -(b_1-b_0) & (a_1-a_0) & 0 \\ \end{array} \right).$

NB: Todas las entradas de las matrices $C_1$ , $C_2$ son constantes, no se pueden modificar

té de estudiante

¿Conoces la matriz exponencial?

Nirvana

Sé sobre matriz exp

Nirvana

@Amzoti agregó, verifique

Nirvana

quieres decir en

C_{1}

$C_1$ y

C_{2}

$C_2$

Nirvana

Agregado con edición por favor lea

Respuestas (1)

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invierno · Answer 1

Por la ley del producto de determinantes tenemos

det F (t) = det A (t) \cdot det F^{'} (t) = 0

$\det F(t) = \det A(t) \cdot \det F'(t) = 0$

si $\det F'(t)$ es finito, pero esto contradice $\det F(0) = 1$ . Esto significa que $F'(t)$ (si existe una solución en absoluto) es ilimitado cerca de $t=0$ y $\det F(t)$ (y por lo tanto $F(t)$ ) debe ser discontinua en $t=0$ .

Estudiemos el sistema de cerca $t=0$ . Encontramos

(\begin{matrix} F_{00} & F_{10} & F_{20} \\ F_{01} & F_{11} & F_{21} \\ F_{02} & F_{12} & F_{22} \end{matrix}) = t^{3} (S + O (t) q) (\begin{matrix} \dot{F_{00}} & \dot{F_{10}} & \dot{F_{20}} \\ \dot{F_{01}} & \dot{F_{11}} & \dot{F_{21}} \\ \dot{F_{02}} & \dot{F_{12}} & \dot{F_{22}} \end{matrix})

$\left(\matrix{F_{00}&F_{10}&F_{20}\\F_{01}&F_{11}&F_{21}\\F_{02}&F_{12}&F_{22}}\right) =t^3\left(S+\mathcal{O}(t)Q\right)\left(\matrix{\dot{F_{00}}&\dot{F_{10}}&\dot{F_{20}}\\\dot{F_{01}}&\dot{F_{11}}&\dot{F_{21}}\\\dot{F_{02}}&\dot{F_{12}}&\dot{F_{22}}}\right)$

dónde $S$ no depende de $t$ . El $00$ -componente al orden más bajo en $t$ da

(C_{0} - C_{1}) \dot{F_{10}} + (- b_{0} + b_{1}) \dot{F_{20}} = \frac{F_{00}}{t^{3}} ≃ \frac{1}{t^{3}}

$(c_0 - c_1) \dot{F_{10}} + (-b_0 + b_1) \dot{F_{20}} = \frac{F_{00}}{t^3} \simeq \frac{1}{t^3}$

Así uno o más de los $F_{ij}$ Los términos deben tener una singularidad en $t=0$ .

Esto no tiene por qué ser cierto. Si $f(x)=\sqrt{x}+1$ , entonces $f'(x)$ es ilimitado cerca de $x=0$ , todavía $f(x)=2(x+\sqrt{x})f'(x)$ con $f(0)=1$ está bien definido, con otras opciones de $f(0)$ resultando en una escala de la resultante $f(x)$ .
@GlenO Ese es un buen punto, gracias. Corregí la declaración.

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Nirvana

té de estudiante

Nirvana

Nirvana

Nirvana

Nirvana

Respuestas (1)

invierno

Cañada O

invierno

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