Problema con la definición de la integral indefinida

Question

Problema con la definición de la integral indefinida

cálculo
integración
Matemáticas
integrales definidas
Integrales indefinidas
ecuaciones diferenciales ordinarias

Diente GrasientoAbeja

En el libro Thomas' Calculus , la integral indefinida se define de la siguiente manera:

definimos la integral indefinida de la función ƒ con respecto a x como el conjunto de todas las antiderivadas de ƒ, simbolizado por $\int{ƒ(x)dx}$ . Dado que dos antiderivadas cualesquiera de f difieren en una constante, la integral indefinida $\int$ notación significa que para cualquier antiderivada F de ƒ ,
$\int F (X) d X = F (X) + C$ $\int{f(x)dx=F(x)+C}$

Esto implica directamente que:

\begin{matrix} (1) & \frac{d y}{d X} = F (X) ⟹ y (X) = \int F (X) d X = F (X) + C \end{matrix}

$\frac{dy}{dx}=f(x) \implies y(x)=\int{f(x)dx} = F(x)+C \tag{1}$

Sin embargo, en el libro Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Simmons señala:

Lo resolvemos escribiendo:
$\begin{matrix} (2) & y (X) = \int F (X) d X + C \end{matrix}$ $y(x)=\int{f(x)dx} + c \tag{2}$

El 'it' se refiere a la ecuación diferencial en (1).

Pregunta: ¿No es el $c$ ¿redundante? Dado que la integral indefinida ya contiene la colección de antiderivadas, uno pensaría que ese sería el caso, sin embargo, del primer teorema fundamental del cálculo obtenemos:

\begin{matrix} (3) & \int_{a}^{X} F (t) d t = \int F (X) d X \end{matrix}

$\int_{a}^{x}{f(t)dt}=\int{f(x)dx} \tag{3}$

y sustituyendo (3) en (1),

\begin{matrix} (4) & y (X) = \int_{a}^{X} F (t) d t = F (X) - F (a) \end{matrix}

$y(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}=F(x)-F(a) \tag{4}$

Y ahora comparando (1) y (4) llegamos a la conclusión de que: $F(x)+C=F(x)-F(a)$ , que claramente tiene que ser Falso, ya que a es fijo pero C es una constante arbitraria. La única forma de equilibrarlo es agregar otra constante arbitraria para hacer: $F(x)+C=F(x)-F(a) + C_1$ . Pero para que esto suceda tenemos que añadir el $C_1 to \int{f(x)dx}$ en (1) y por lo tanto confirmando la validez de (2). Entonces el $c$ en (2) parece necesario de nuevo.

¿Cómo resolver esta contradicción?

Lalit Tolani

¿Por qué estás comparando ecuaciones de dos libros diferentes, ambos dicen lo mismo pero de manera diferente?

Diente GrasientoAbeja

@LalitTolani Mientras hablan de las soluciones de la misma ecuación diferencial, los dos enfoques arrojan resultados diferentes, y eso es un problema.

Respuestas (1)

Problema con la definición de la integral indefinida

¿Por qué estás comparando ecuaciones de dos libros diferentes, ambos dicen lo mismo pero de manera diferente?
@LalitTolani Mientras hablan de las soluciones de la misma ecuación diferencial, los dos enfoques arrojan resultados diferentes, y eso es un problema.

DMcMor · Answer 1

Cuidado, todo lo que dice el segundo teorema fundamental es que

\int_{a}^{X} F (t) d t

$\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ es una antiderivada de

f (x)

$f(x)$ . Eso no es lo mismo que decir que

\int_{a}^{X} F (t) d t = \int F (X) d X

$\int_{a}^{x}{f(t)\,dt}=\int{f(x)\,dx}$ lo cual no es cierto Lo que puedes escribir es

\int F (X) d X = \int_{a}^{X} F (t) d t + C .

$\int f(x)\,dx = \int_{a}^{x}f(t)\,dt + C.$ En cualquier caso, sí, generalmente se considera redundante escribir

\int F (X) d X + C,

$\int f(x)\,dx + c,$ pero haría bien en verificar dos veces cómo define Simmons

\int F (X) d X .

$\int f(x)\,dx.$ Me sorprendería si su definición difiere del estándar, por lo que puede darse el caso de que escribir el

+ C

$+C$ es solo su forma de asegurarse de que el lector recuerde la necesidad de una constante arbitraria. Ciertamente no hay nada incorrecto en escribir

\int F (X) d X + C

$\int f(x)\,dx + c$ porque como usted ha señalado, si

F (x)

$F(x)$ es una antiderivada de

f (x)

$f(x)$ entonces

\int F (X) d X = F (X) + C,

$\int f(x)\,dx = F(x) + C,$ y dado que la suma de dos constantes arbitrarias es nuevamente una constante arbitraria, todavía es válido escribir

\int F (X) d X + C .

$\int f(x)\,dx + c.$

Desde $\int_{a}^{x}{f(t)dt}$ es una función de $x$ , considerar $y(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$ y uso (1). Esto demostrará que $\int_{a}^{x}{f(t)dt}=\int{f(x)dx}$
Disculpe quería escribir y de hecho me refería al primer teorema y he corregido el post

Problema con la definición de la integral indefinida

Diente GrasientoAbeja

Lalit Tolani

Diente GrasientoAbeja

Respuestas (1)

DMcMor

Diente GrasientoAbeja

Diente GrasientoAbeja

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Teorema fundamental de la pregunta de cálculo (área bajo la curva)

¿Qué tan mal está? - Una "prueba" de la FTC que se me ocurrió en la escuela secundaria agitando la mano.

¿El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la integración es el 'opuesto' de la diferenciación?

(Desacuerdo entre usuarios acreditados) Integral indefinida vs. Integral definida vs. Anti-derivada

Ayuda a entender lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo

Integración indefinida por partes

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

Evalúa ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x) -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}