Resolviendo 8+2x−x2−−−−−−−−−√>6−3x8+2x−x2>6−3x\sqrt{8+2x-x^2} > 6-3x.

Digamos que tenemos una desigualdad$\sqrt a>b$. A menudo nos interesa deshacernos de la raíz cuadrada, por lo que queremos hacer algo similar a 'elevar al cuadrado ambos lados'. Pero elevar ambos lados al cuadrado no necesariamente preserva la desigualdad.

Ejemplo:

$$\sqrt5>-3$$

Pero

$$\implies\sqrt5^2>(-3)^2 \implies 5\gt9$$

es claramente falso.

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Si quieres una regla general, entonces debes usar

$$|a|\gt|b|\iff a^2>b^2$$

Esto explica por qué necesita considerar casos separados aquí

Simplemente use estas reglas fundamentales para (des)igualdades irracionales, válidas en el dominio$A\ge 0$:

$$\begin{alignat}{2} &\bullet\quad \sqrt A> B\iff A>B^2\quad\text{OR}&&\quad B<0 \\ &\bullet\quad \sqrt A < B\iff A < B^2\quad\text{AND}&&\quad B\ge 0 \\ &\bullet\quad \sqrt A = B\iff A = B^2\quad\text{AND}&&\quad B\ge 0 \end{alignat}$$

El dominio da$-2\leq x\leq4$.

Para$x>2$con el dominio nuestra desigualdad es verdadera.

Pero para$x\leq2$podemos usar el cuadrado,

lo que da$5x^2-19x+14<0$o$1<x<2.8$y desde$(1,2]\cup(2,4]=(1,4]$, obtenemos la respuesta:

$$(1,4]$$