Raíz común entre cuadrático

Dejar a , b ∈ norte y a ≠ b

Si ( a − 1 ) X 2 − ( a 2 + 2 ) X + a 2 + 2 a = 0

y

( b − 1 ) X 2 − ( b 2 + 2 ) X + b 2 + 2 b = 0

tienen una raíz común entonces el valor de a b es ?

Intenté usar la regla de Cramer para la raíz común pero eso no simplificó a nada y al restar las ecuaciones nuevamente terminé con una cuadrática, al resolver la cuadrática obtuve

X = a 2 − b 2 ± ( b 2 − a 2 ) 2 − 4 ( a − b ) ( a 2 − b 2 + 2 a − 2 b ) 2 ( a − b )
que tampoco simplifica.

Cualquier sugerencia sobre cómo debo resolver esto.

eres capaz de aislar ( a − b ) 2 dentro del radical agrupando
Escriba su expresión en lugar de publicar una imagen.
¿La publicación aceptada a continuación le permitió llegar a una respuesta a la pregunta en su publicación?
Si Porque preguntas ?
Porque no veo cómo, naturalmente. ¿Le importaria explicar? (No relacionado: utilice @.)
@Did ya que hay una raíz común, tomé 2 raíces a la vez y las igualé solo X 3 = X 2 a norte d X 1 = X 4 dar respuestas
¿Notó que otra publicación proporciona su respuesta sin todos estos bucles y casos?
@Lo hice, pero no he estudiado el concepto que se usa allí.
Sí. No dice el contexto en el que se le preguntó esto, pero si yo fuera usted, olvidaría fácilmente la "respuesta" que consideró adecuada para aceptar y, en cambio, echaría un vistazo o dos al enlace en la respuesta de Robert. Solo mis dos centavos.

Respuestas (2)

Si F ( X ) y gramo ( X ) son los lados izquierdos de sus dos ecuaciones, la resultante de F ( X ) y gramo ( X ) es 3 ( a b − a − b − 2 ) 2 ( a − b ) 2 . Esto es 0 si y solo si las ecuaciones tienen una raíz común. De este modo

a b = a + b + 2

Escribe esto como
( a − 1 ) ( b − 1 ) = 3
S Desde 3 es primo, si a y b son números naturales que necesitamos a − 1 y b − 1 ser 1 y 3 (en cualquier orden). Así uno de a y b es 2 y el otro es 4 .

¿A qué te refieres con resultante?
Enlace añadido.....

resolviendo las dos ecuaciones cuadráticas obtenemos

X 1 = a + 2 a − 1 , X 2 = a
X 3 = b + 2 b − 1 , X 4 = b
si tenemos
X 1 = X 3
tenemos
( a + 2 ) ( b − 1 ) = ( b + 2 ) ( a − 1 )
resolviendo esto obtenemos a = b ¿Puedes resolver los otros casos?

Pero como sabría cuales 2 son iguales
hm debes calcular todas las posibilidades
X 3 = X 2 y X 1 = X 4 ambos dan respuestas entonces cual debo aceptar
que respuestas tienes
a = 4 o 2 y b = 2 o 4
si y a b = 4 ⋅ 2 = 8
Pero como solo hay una raíz común, solo una de ellas puede ser igual a la vez.
pero tienes dos parámetros a , b
Raíz común entre cuadrático
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