Escribir raíz cuadrada de números libres de cuadrados como suma de raíces cuadradas.

Lema 1 . Si$m$es un entero positivo y$\sqrt m$es racional, entonces$\sqrt m$es un número entero.

prueba _ Fácil.

Lema 2 . Si$m,n$son enteros positivos y$\sqrt m+\sqrt n$es racional, entonces ambos$\sqrt m$y$\sqrt n$son números enteros.

prueba _ Decir$\sqrt m+\sqrt n=x\in\Bbb Q$. Entonces

$$\sqrt m-\sqrt n=\frac{m-n}{x}$$ es racional y también lo es $$\sqrt m=\frac{(\sqrt m+\sqrt n)+(\sqrt m-\sqrt n)}{2}\ ,$$ y de la misma manera $\sqrt n\,$. por el lema 1, $\sqrt m$y $\sqrt n$son números enteros.

Ahora supongamos que

$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=\sqrt s\ ,$$ dónde $a,b,c,s$son enteros positivos y $s$es cuadrado. Cuadrar y reorganizar, $$2\bigl(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\bigl)=s-a-b-c\ .$$ Ahora agregue a esta ecuación la identidad $2\sqrt a\sqrt a=2a$y factorizar para obtener $$2\sqrt{bc}+2\sqrt{as}=s+a-b-c\ .$$ Por el lema 2, vemos que $\sqrt{as}$es un número entero; desde $s$es sin cuadrados, $a$debe ser un cuadrado veces $s$, decir $a=p^2s$. Similarmente $b=q^2s$y $c=r^2s$, entonces $$p\sqrt s+q\sqrt s+r\sqrt s=\sqrt s\ ,$$ pero como $p+q+r>1$, esto es imposible.

Nota: Elevar al cuadrado solo ayuda cuando tienes 5/6 o menos términos. De lo contrario, corre el riesgo de introducir demasiadas raíces cuadradas. Como tal, necesita algo más poderoso para lidiar con el caso general.

Teorema. Dejar$SF$Sea el conjunto de los números enteros positivos que no son divisibles por el cuadrado de ningún primo.$SF = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, \ldots \}$. Si$\{a_i \} _{i=1}^n$son números distintos del conjunto$SF$, y$\{b_i\}_{i=1}^n$son enteros, entonces$S = \sum b_i \sqrt{a_i} = 0$si y solo si todos$b_i = 0$.

Corolario Ningún entero libre de cuadrados puede escribirse como la suma de 3 o más raíces cuadradas distintas de cero.

Prueba. El enfoque más simple es usar la teoría de Galois, que podría estar más allá de OP. Presentaría un enfoque 'elemental' que vi por primera vez en Feng Zuming.

Recuerda la idea de los conjugados. Considere la expresión lineal$L(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n$. Considera las expresiones conjugadas, que tienen la forma$L' (x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 \pm a_2 x_2 \pm \ldots \pm a_n x_n$. [Hay$1 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^{n-1}$tales expresiones.]$T$sea ​​una variable y considere el polinomio

$$F_{L(x_1, x_2, \ldots , x_n)} (T) = \prod_{L'} \big(T - L'(x_1, x_2, \ldots, x_N) \big).$$

Considéralo como un polinomio en$x_i, i\neq 1$. Cambiar cualquiera de los signos de$x_i$no cambia$F$, ya que el conjunto$\{ L' \}$Se mantiene igual. Entonces,

$$F_{L(x_1, x_2, \ldots , x_n)} (T) = F_{L(x_1, \pm x_2, \ldots ,\pm x_n)} (T) .$$

Como tal, la expansión polinomial solo contiene potencias pares de$x_i, i\neq 1$. Está claro que puede contener potencias pares o impares de$x_1$, por lo tanto tenemos

$$F_{L(x_1, x_2, \ldots , x_n)} (T) = x_1 P ( x_1^2, x_2 ^2, \ldots, x_n ^2 , T) + Q( x_1^2, x_2 ^2, \ldots, x_n ^2 , T).$$

Desde$F$es un polinomio con coeficientes enteros, se sigue que$P$y$Q$también son polinomios con coeficientes enteros.

Mostraremos una ligera variante del problema original, a saber, que ningún entero distinto de cero$M$se puede representar como una suma entera canónica no trivial de radicales. Lo que esto significa es que todas las raíces cuadradas se han simplificado, por lo que nos quedan términos cuadrados libres bajo el signo de la raíz. En este caso, estamos excluyendo el radical$\sqrt{1}$, por lo que ahora incluimos el entero distinto de cero$M$. Por lo tanto, este problema es equivalente. Probaremos esta afirmación por inducción.

Caso base: Claramente, si$b_1 \sqrt{a_1} = M$, entonces$M^2 = b_1^2 a_1$, Lo que significa que$a_1$debe ser un cuadrado, lo cual no es posible.

Supongamos que tenemos una expresión de la forma$\sum b_i \sqrt{a_i}$tal que$\sum b_i \sqrt{a_i} = M \neq 0$. Entonces, el polinomio$F_{L(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \ldots , \sqrt{a_n})} (M) = 0$. De la discusión anterior, tenemos

$0 = \sqrt{a_1} P(a_1, a_2, \ldots, a_n, M) + Q(a_1, a_2, \ldots, a_n, M)$

Cada uno de estos polinomios tiene coeficientes enteros y variables enteras, por lo tanto, cuando se evalúa en un número entero, es igual a un número entero. Por el caso base, esto muestra que$P(a_1, a_2, \ldots, a_n, M) = Q(a_1, a_2, \ldots, a_n, M) =0$. Como tal, esto nos da$0 = - \sqrt{a_1} P(a_1, a_2, \ldots, a_n, M) + Q(a_1, a_2, \ldots, a_n, M)$

Ahora, considere la expresión$G_{L(x_1, x_2, \ldots, x_n)} (T) = \prod \big( T + L' (x_1, x_2, \ldots, x_n) \big)= - x_1 P ( x_1^2, x_2 ^2, \ldots, x_n ^2 , T) + Q( x_1^2, x_2 ^2, \ldots, x_n ^2 , T).$

Lo sabemos$\prod(M + L') = 0$, y por lo tanto$M = -b_1 \sqrt{a_1} \pm a_2 x_2 \pm \ldots \pm a_n x_n$, para alguna combinación de signos. Agregando esto a$M = b_1 \sqrt{a_1} + b_2 \sqrt{a_2} + \ldots + b_n \sqrt{a_n}$, obtenemos que$2M = (b_2 \pm b_2) \sqrt{a_2} + \ldots + (b_n \pm b_n) \sqrt{a_n}$, lo que contradice la hipótesis de inducción.