f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

Question

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

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Mago Matemático

Dejar $f(x)$ y $g(x)$ sean dos polinomios cúbicos mónicos, y sean $r$ ser un número real. Dos de las raíces de $f(x)$ son $r+1$ y $r+7$ . Dos de las raíces de $g(x)$ son $r + 3$ y $r + 9,$ y
$F (X) - gramo (X) = r$ $f(x) - g(x) = r$ para todos los números reales $x.$ Encontrar $r.$

Hasta ahora, tengo

F (X) = (X - r - 1) (X - r - 7) (X - pag)

$f(x)=(x-r-1)(x-r-7)(x-p)$ y

gramo (X) = (X - r - 3) (X - r - 9) (X - q) .

$g(x)=(x-r-3)(x-r-9)(x-q).$ De

f (x) - g (x) = r

$f(x)-g(x)=r$ , sé que sus términos constantes difieren en

r

$r$ . Expandí las dos funciones pero era demasiado complicado. también me conecté

x = r + 1, r + 7, r + 3, r + 9

$x=r+1,r+7,r+3,r+9$ en

f (x) - g (x) = r

$f(x)-g(x)=r$ , pero no sirvió de mucho.

¡¡¡¡¡Gracias de antemano!!!!!

Respuestas (4)

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

Ewan Delanoy · Answer 1

Pista: tenemos $f(r+3)=r$ (¿por qué?) y $p=\frac{9}{8}r + 3$ sigue fácilmente. Entonces, $f(r+9)=r=-2r + 96$ . ¿Puedes terminar desde allí?

jose carlos santos · Answer 2

Tu enfoque está bien. Tenga en cuenta que

\begin{matrix} F (X) - gramo (X) = \\ = (4 - pag + q) X^{2} + (2 r pag + 8 pag - 12 q - 2 q r - 4 r - 20) X - pag r^{2} + q r^{2} - 8 pag r + 12 q r - 7 pag + 27 q . \end{matrix}

$\begin{multline}f(x)-g(x)=\\=(4-p+q)x^2+(2 r p+8p-12 q-2 q r-4 r-20)x-p r^2+q r^2-8 p r+12 q r-7 p+27 q.\end{multline}$ Entonces,

4 - p + q = 0

$4-p+q=0$ ; en otras palabras,

p = q + 4

$p=q+4$ . reemplazando

p

$p$ con

q + 4

$q+4$ en el coeficiente de

x

$x$ en

f (x) - g (x)

$f(x)-g(x)$ , lo conseguimos

4 (3 - q + r) = 0

$4(3-q+r)=0$ ; en otras palabras,

q = r + 3

$q=r+3$ . Y si reemplaza

q

$q$ con

r + 3

$r+3$ en el término constante de

f (x) - g (x)

$f(x)-g(x)$ , obtenemos

32

$32$ . Pero queremos que esto sea igual a

r

$r$ . Por lo tanto,

r = 32

$r=32$ .

boojum · Answer 3

Vale la pena comentar primero algunas propiedades de estos dos polinomios:

• porque $\ f(x) \ = \ g(x) + r \ \ , \ \ r \$ real, las curvas de las dos funciones nunca se cruzan;

• por la misma razón, el cuadrático $\ (b) \$ y lineal $\ (c) \$ los coeficientes son idénticos ;

• a partir de la información dada sobre sus respectivos ceros, determinamos que $g(r + 1) \ = \ -r \ \ ,$ $g(r + 3) \ = \ 0 \ \ , \ \ g(r + 7) \ = \ -r \ \ , \ \ g(r + 9) \ = \ 0 \ \ .$

También usaremos tu notación para escribir $\ f(p) \ = \ 0 \ \ , \ \ g(q) \ = \ 0 \ \ .$ Dado que los polinomios tienen tres ceros reales, sus curvas tienen dos extremos relativos (la "curva S" cúbica). Esto nos dice algo significativo sobre los ceros: "desplazamiento" $\ g(x) \$ verticalmente por $\ r \$ mueve los ceros de $\ g(x) \$ en $\ (r + 3) \$ y $\ (r + 9) \$ "hacia la izquierda" a los ceros de $\ f(x) \$ en $\ (r + 1) \$ y $\ (r + 7) \ \ ,$ lo que implica que $\ r \ > \ 0 \ \ .$ (El máximo relativo se aleja del $\ x-$ eje y el mínimo relativo, hacia él.) El tercer cero de estos polinomios debe por lo tanto estar entre los otros dos $\ ( \ r + 1 \ \le \ p \ \le \ r + 7 \ \ , \ \ r + 3 \ \le \ q \ \le \ r + 9 \ ) \ \$ y $\ q \$ debe "moverse hacia la derecha" para $\ p \ \ .$ Esta última afirmación se confirma a partir de las relaciones de Viete: el coeficiente cuadrático es

b = - [(r + 1) + pag + (r + 7)] = - [(r + 3) + q + (r + 9)]

$b \ \ = \ \ -[ \ (r + 1) \ + \ p \ + \ (r + 7) \ ] \ \ = \ \ -[ \ (r + 3) \ + \ q \ + \ (r + 9) \ ]$

\Rightarrow 2 r + pag + 8 = 2 r + q + 12 \Rightarrow pag = q + 4 .

$\Rightarrow \ \ 2r \ + \ p \ + \ 8 \ \ = \ \ 2r \ + \ q \ + \ 12 \ \ \Rightarrow \ \ p \ = \ q + 4 \ \ .$

Para lo que sigue, volveremos a etiquetar los ceros dados en términos de $\ \rho \ = \ (r + 3) \ \ . \$ El coeficiente lineal de estos polinomios es entonces

C = (ρ - 2) \cdot (q + 4) + (ρ + 4) \cdot (q + 4) + (ρ - 2) \cdot (ρ + 4)

$c \ \ = \ \ (\rho - 2)·(q + 4) \ + \ (\rho + 4)·(q + 4) \ + \ (\rho - 2)·(\rho + 4)$

= ρ \cdot q + (ρ + 6) \cdot q + ρ \cdot (ρ + 6)

$= \ \ \rho · q \ + \ (\rho + 6) · q \ + \ \rho · (\rho + 6)$

\Rightarrow ρ^{2} + 2 \cdot q \cdot ρ + 10 \cdot ρ + 2 \cdot q = ρ^{2} + 2 \cdot q \cdot ρ + 6 \cdot ρ + 6 \cdot q \Rightarrow ρ = q .

$\Rightarrow \ \ \rho^2 \ + \ 2·q·\rho \ + \ 10·\rho \ + \ 2·q \ \ = \ \ \rho^2 \ + \ 2·q·\rho \ + \ 6·\rho \ + \ 6·q \ \ \Rightarrow \ \ \rho \ \ = \ \ q \ \ .$ Entonces descubrimos que

q = (r + 3)

$\ q \ = \ (r + 3) \$ es de hecho un doble cero de

g (x) .

$\ g(x) \ \ .$ A su vez, encontramos que

p = q + 4 = (r + 3) + 4 = (r + 7)

$\ p \ = \ q + 4 \ = \ (r + 3) + 4 \ = \ (r + 7) \$ es un doble cero de

f (x) .

$\ f(x) \ \ .$

Si designamos $\ d \$ como el "término constante" de $\ g(x) \ \ , \$ encontramos

d = - (r + 3)^{2} \cdot (r + 9) \Rightarrow d + r = r - (r + 3)^{2} \cdot (r + 9) = - (r + 1) \cdot (r + 7)^{2}

$d \ = \ -(r + 3)^2·(r + 9) \ \ \Rightarrow \ \ d \ + \ r \ = \ r \ - \ (r + 3)^2·(r + 9) \ \ = \ \ -(r + 1)·(r + 7)^2$

\Rightarrow - r^{3} - 15 r^{2} - 62 r - 81 = - r^{3} - 15 r^{2} - 63 r - 49 \Rightarrow r = 32 .

$\Rightarrow \ \ -r^3 \ - \ 15r^2 \ - \ 62r \ - \ 81 \ \ = \ \ -r^3 \ - \ 15r^2 \ - \ 63r \ - \ 49 \ \ \Rightarrow \ \ r \ = \ 32 \ \ .$

Nuestros polinomios son por lo tanto

gramo (X) = (X - 35)^{2} \cdot (X - 41) = X^{3} - 111 X^{2} + 4095 X - 50225 y

$g(x) \ \ = \ \ (x - 35)^2 \ · \ (x - 41) \ \ = \ \ x^3 \ - \ 111x^2 \ + \ 4095x \ - \ 50225 \ \ \ \text{and}$

F (X) = (X - 33) \cdot (X - 39)^{2} = X^{3} - 111 X^{2} + 4095 X - 50193 = gramo (X) + 32 .

$f(x) \ \ = \ \ (x - 33) \ · \ (x - 39)^2 \ \ = \ \ x^3 \ - \ 111x^2 \ + \ 4095x \ - \ 50193 \ \ = \ \ g(x) \ + \ 32 \ \ .$ [Los extremos relativos de

g (x)

$\ g(x) \$ están ubicados en

(35, 0)

$\ (35 \ , \ 0) \$ y

(39, - 32),

$\ (39 \ , \ -32) \ \ ,$ mientras que los de

f (x)

$\ f(x) \$ son

(35, 32)

$\ (35 \ , \ 32) \$ y

(39, 0) .]

$\ (39 \ , \ 0) \ \ . \ ]$

Por cierto, hay un par complementario de polinomios para $\ r \ = \ -32 \ \ :$

gramo (X) = (X + 25)^{2} \cdot (X + 31) = X^{3} + 81 X^{2} + 2175 X + 19375 y

$g(x) \ \ = \ \ (x + 25)^2 \ · \ (x + 31) \ \ = \ \ x^3 \ + \ 81x^2 \ + \ 2175x \ + \ 19375 \ \ \ \text{and}$

F (X) = (X + 23) \cdot (X + 29)^{2} = X^{3} + 81 X^{2} + 2175 X + 19343 = gramo (X) - 32 .

$f(x) \ \ = \ \ (x + 23) \ · \ (x + 29)^2 \ \ = \ \ x^3 \ + \ 81x^2 \ + \ 2175x \ + \ 19343 \ \ = \ \ g(x) \ - \ 32 \ \ .$

Dan · Answer 4

Dejar $\alpha$ , $\beta$ , y $\gamma$ ser las raíces de un polinomio cúbico mónico $p$ . Entonces:

pag (X) = (X - α) (X - β) (X - γ)

$p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$

= X^{3} - (α + β + γ) X^{2} + (α β + α γ + β γ) X - α β γ

$= x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Emparejando los coeficientes con la cúbica general $x^3 + bx^2 + cx + d$ (Estoy omitiendo $a$ porque se nos da que es 1) da:

α + β + γ = - b

$\alpha + \beta + \gamma = -b$

α β + α γ + β γ = C

$\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = c$

α β γ = - d

$\alpha\beta\gamma = -d$

Estas ecuaciones se llaman fórmulas de Vieta .

Ahora, consideremos dos polinomios que son simples desplazamientos horizontales de los dados:

F_{r} (X) = F (X - r) : α = 1, β = 7, γ = s

$f_r(x) = f(x-r): \alpha = 1, \beta = 7, \gamma = s$

{gramo}_{r} (X) = gramo (X - r) : α = 3, β = 9, γ = t

$g_r(x) = g(x-r): \alpha = 3, \beta = 9, \gamma = t$

Como difieren solo por una constante ( $r$ ), deben tener el mismo $b$ y $c$ coeficientes, y tienen $d$ diferir por $r$ . Entonces,

1 + 7 + s = 3 + 9 + t

$1 + 7 + s = 3 + 9 + t$

7 + s + 7 s = 27 + 3 t + 9 t

$7 + s + 7s = 27 + 3t + 9t$

- 7 s + 27 t = r

$-7s + 27t = r$

O, reorganizando un poco:

\begin{matrix} (1) & s - t = 4 \end{matrix}

$s - t = 4\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & 8 s - 12 t = 20 \end{matrix}

$8s - 12t = 20\tag{2}$

\begin{matrix} (3) & r + 7 s - 27 t = 0 \end{matrix}

$r + 7s - 27t = 0\tag{3}$

Un sistema lineal simple de ecuaciones que se puede resolver para $r$ , $s$ , y $t$ . De 1), $s = t + 4$ . Sustituyendo esto en (2) da:

8 (t + 4) - 12 t = 20

$8(t + 4) - 12t = 20$

8 t + 32 - 12 t = 20

$8t + 32 - 12t = 20$

- 4 t = - 12

$-4t = -12$

t = 3

$t = 3$

s = t + 4 = 7

$s = t + 4 = 7$

Finalmente, reemplazando en (3) da:

r + 7 (7) - 27 (3) = 0

$r + 7(7) - 27(3) = 0$

r + 49 - 81 = 0

$r + 49 - 81 = 0$

r = 32

$r = 32$

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

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