¿Son las inversas de las matrices no singulares "casi" diagonales también "casi" diagonales?

No, resulta. Por ejemplo, si$\displaystyle P^k = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{k} & \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & 0 & k^2 \\ \end{array} \right)$, entonces$\displaystyle U^k = \left( \begin{array}{ccc} k & -k & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{k^2} \\ \end{array} \right)$.

Por otro lado, si asumimos además que los elementos diagonales de la$P^k$están uniformemente acotados, entonces la respuesta es sí. La razón es que cada$U_{ij}^k = C_{ij}^k$; cada entrada de cofactor es un determinante de una matriz que tiene entradas acotadas uniformemente y una fila/columna cuyas entradas tienden a$0$como$k\to\infty$, y tales determinantes entonces deben tender a$0$. (Para ver esto, escriba el determinante como una suma alterna de productos de entradas de la matriz, o "factorice un$\varepsilon$" de la fila/columna especial).