Calcular el valor máximo

Al buscar un punto crítico de una función multivariante, debe darse el caso de que las derivadas parciales con respecto a cada variable sean cero. Por el teorema fundamental del cálculo:

$$\frac{\partial}{\partial a}\int_a^b(2-x-3x^2)dx=-(2-a-3a^2)$$

$$\frac{\partial}{\partial b}\int_a^b(2-x-3x^2)dx=2-b-3b^2$$

Como mostró @Robert Z, las expresiones para estas derivadas parciales son cero en$a,b\in\{-1,2/3\}$. A partir de ahí, no es demasiado difícil demostrar que$(a,b)=(-1,2/3)$es máximo.

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Solo quería incluir un apéndice que mostrara cómo se podría resolver este problema utilizando el método estándar de búsqueda de extremos de punto crítico.

Supongo que en tu definición de$f(a,b)$los límites deben intercambiarse (de lo contrario$f$no tiene límite superior).

Tenga en cuenta que

$$f(a,b):=\int_{a}^{b}{(2-x-3x^2)}\,dx =\int_{a}^{b}{(x+1)(2-3x)}\,dx.$$ Por lo tanto, para$a<b$, para maximizar la integral de$(x+1)(2-3x)$, seleccionamos el intervalo$(a,b)$donde el polinomio cuadrático es positivo, es decir$(-1,2/3)$: $$f(a,b)=f(a,-1)+ f(-1,2/3)+ f(2/3,b)\leq f(-1,2/3)=\frac{125}{54}$$ porque$f(a,-1)+f(2/3,b)\leq 0$. La última desigualdad es trivial para$a\leq -1<2/3\leq b$, puede manejar fácilmente los otros casos.

Técnicamente$f(a,b)$es una función de dos variables, pero se puede dividir fácilmente en$\int_a^c-(x+1)(3x-2)dx+\int_c^b-(x+1)(3x-2)dx$por una constante$c$. Para que un punto sea un máximo, la derivada no debe ser un número distinto de cero. Es decir, es indefinido o cero. La integración es lo opuesto a la diferenciación, por lo que la derivada de$\int_c^b-(x+1)(3x-2)dx$es solo$-(x+1)(3x-2)$, y la derivada de$\int_a^c-(x+1)(3x-2)dx$es$(x+1)(3x-2)$, y ambos son cero en$x=-1$y$x=\frac 23$.

A continuación podemos pasar a la prueba de la segunda derivada. Para$b$, la segunda derivada es$-1-3x$. enchufando$-1$y$\frac 23$, obtenemos$2$y$-3$, respectivamente, por lo que$\frac 23$es el valor x del máximo. Para$a$, obtenemos el$-2$y$-3$, donación$-1$como el valor de x. Entonces$(a,b)=(-1,\frac23)$