¿Cuál es la solución de esta ecuación diferencial vectorial?

Definir el cambio de variables$z(t):=\exp(-At)x(t)$. Entonces obtenemos

$$\dot{z}(t)=-Az(t)+\exp(-At)\dot{x}(t)$$

y por lo tanto

$$\dot{z}(t)=-Az(t)+\exp(-At)(Ax(t)+Bu(t))$$

cuyos rendimientos

$$\dot{z}(t)=\exp(-At)Bu(t),$$

donde hemos utilizado el hecho de que$\exp(-At)A=A\exp(-At)$. Integrando de 0 a$t$, obtenemos

$$z(t)=z(0)+\int_0^t\exp(-As)Bu(s)ds.$$

Desde$z(0)=x_0$y$x(t)=\exp(At)z(t)$, obtenemos

$$x(t)=\exp(At)x_0+\int_0^t\exp(A(t-s))Bu(s)ds.$$

Esta es la solución general a su ecuación. Cualquier libro de texto sobre sistemas dinámicos (lineales) o sobre métodos de espacio de estado para la teoría de control se ocupará de esto.

Cuando la entrada es constante y la matriz$A$es invertible, podemos llegar a la siguiente expresión simplemente evaluando la integral

$$x(t)=\exp(At)x_0+A^{-1}(\exp(At)-I)Bu.$$

A menudo, las ecuaciones diferenciales matriciales se pueden resolver mediante "la extensión obvia" del análogo escalar de la ecuación. Aquí, pensemos en$x(t)$como una función escalar de$t$, satisfactorio$x'=ax+b$con escalares$a,b$. Esta es una ecuación diferencial "separable", cuya heurística para resolverla consiste en mover todos los$x$está a un lado, y$t$'s al otro:${dx\over ax+b}=dt$. Luego integra:${1\over a}\log(ax+b)=t+C$con constante de integración$C$. Reorganizar para expresar$x$en términos de$t$,$x=a^{-1}(Ce^{at}-b)$(con un diferente arbitrario$C$).

Esto sugiere que la versión matriz/vector sería la misma "pero con mayúsculas" :), es decir, que$x'=Ax+B$debería dar$x=A^{-1}(e^{tA}C-B)$[error tipográfico anterior corregido], con vector constante$C$determinada por la condición inicial. Luego comprobamos que esto funciona. (Y, de hecho, incluso en el caso escalar, si estamos nerviosos por separar el$dx$y$dt$, podemos comprobar que la heurística da un resultado correcto).

No estoy en contacto con los libros de texto contemporáneos, pero apostaría a que la mayoría de los textos introductorios de "ecuaciones diferenciales" tratarían tales ecuaciones.

EDITAR: Además, las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma$u''+au'+u=0$están bien estudiados (soluciones de la ecuación "indicial/característica"$\lambda^2+a\lambda+b=0$dar dos soluciones linealmente independientes$e^{\lambda t}$... con excepción de raíz doble, etc.)

Y, para encontrar el "$C$" determinado por la condición inicial en el ejemplo que nos ocupa, establecer$t=0$en la solución general, obteniendo$x_o=A^{-1}(C-B)$. Resolviendo para$C$, esto es$C=Ax_o+B$, etc...

$\def\A{A^{-1}} \def\E{e^{At}} \def\x{\dot x} \def\z{\dot z} \def\qiq{\quad\implies\quad}$Defina las siguientes variables vectoriales

$$\eqalign{ c &= \A Bu &\qiq Ac=Bu \\ z &= x+c &\qiq \z=\x\\ }$$ y sustituirlos en la ecuación diferencial $$\eqalign{ \x &= Ax + Bu \\ \z &= A(x+c) &= Az \\ }$$ Resuelva la última EDO para$z$, luego sustituya hacia atrás para encontrar la solución para$x$ $$\eqalign{ z &= \E z_o \\ (x+c) &= \E(x_0+c) \\ x &= \E x_0 + \left(\E-I\right)c \\ &= \E x_0 + \left(\E-I\right)\A Bu \\\\ }$$