¿Cuáles son ejemplos del truco de integración que involucra "Integrales simultáneas", "Integrales duales" o "Pares de integrales"?

El más famoso es probablemente uno de los métodos para calcular la integral gaussiana:

$$I=\int\limits_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\int\limits_{\mathbb R}e^{-y^2}dy\\ \Rightarrow I^2=\left(\int\limits_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\right)\left(\int\limits_{\mathbb R}e^{-y^2}dy\right)=\iint\limits_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy$$ aunque esto se siente como hacer un poco de trampa, ya que en realidad es la misma integral dos veces

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Supongo que otro sería algo como esto:

$$B=\int e^x\sin(x)dx\\A=\int e^x\cos(x)dx\\A+Bj=\int e^{(1+j)x}dx$$ que corta una esquina en comparación con el uso de integración por partes

Realmente no creo que el método que tiene en mente tenga un nombre estándar, aunque he visto que se usa la frase "un sistema de relaciones que involucra integrales" .

Dos ejemplos indefinidos incluyen:

1. Dejar $$I = \int \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x - \cos^3 x} \, dx \quad \text{and} \quad J = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x - \cos^3 x} \, dx.$$ Si$I - J$y$I + J$se encuentran por primera vez,$I$y$J$entonces se puede encontrar.
2. Dejar $$I = \int \frac{1 + x^4}{1 - x^4} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}} \quad \text{and} \quad J = \int \frac{x^2}{1 - x^4} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}}.$$ Si $$A = \int \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \frac{dx}{\sqrt{ 1 + x^4}} \quad \text{and} \quad B = \int \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}},$$ vemos eso $$I = \frac{1}{2}(A + B) \quad \text{and} \quad J = \frac{1}{4}(A - B).$$ las integrales$A$y$B$se puede encontrar usando, por ejemplo, una sustitución$u = \sqrt{1 + x^4}/x$, a partir del cual$I$y$J$entonces se puede encontrar.

Algunos ejemplos definitivos, en un nivel de dificultad ligeramente superior, incluyen:

1. Dejar $$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin x) \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos x) \, dx.$$ Hallazgo$I - J$y$I + J$conduce a valores de$I$y$J$.
2. Dejar $$I = \int_0^1 \frac{x \log (1 - x)}{1 + x^2} \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^1 \frac{x \log (1 + x)}{1 + x^2} \, dx.$$ De nuevo encontrando$I - J$y$I + J$conduce a valores de$I$y$J$.
3. Dejar $$I = \int_0^1 \arctan (x) \log (1 - x) \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^1 \arctan (x) \log (1 + x) \, dx.$$ De nuevo encontrando$I - J$y$I + J$conduce a valores de$I$y$J$.

Un ejemplo relacionado con este método parece el siguiente. Dejar$f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ser parejo y continuo, y dejar$c\in \mathbb{R}$. Considerar

$$I:=\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{1+\exp(cx)} dx.$$ la sustitución$y=-x$rendimientos $$I=\int_{-1}^1 \frac{f(y)}{1+\exp(-cy)} dy.$$ De este modo $$I+I=\int_{-1}^1f(x) \left(\frac{1}{1+\exp(cx)}+\frac{1}{1+\exp(-cx)}\right) dx$$ $$=\int_{-1}^1f(x) dx = 2\int_{0}^1f(x) dx.$$ Entonces (independiente de$c$) $$I=\int_{0}^1f(x) dx.$$ Por ejemplo $$\int_{-1}^1 \frac{x^4}{1+\exp(x)} dx= \frac{1}{5}.$$ No es exactamente el método, ya que solo se usa la suma y no la diferencia de integrales, pero parece relacionado.