Resolver la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano dependiente del tiempo

asumes que

$i \frac{d}{d t} \psi_n(t) = H(t) \psi_n(t) \ ,$

lo cual no es cierto Creo que la confusión surge debido a la notación para$\psi_n(t)$, que a menudo se denominan estados propios instantáneos . Elijamos la notación$\psi_{n,\tau}$, resolviendo:

$H(\tau) \psi_{n,\tau} = E_{n,\tau} \psi_{n,\tau} \ .$

Ahora, por supuesto, podemos encontrar soluciones.$\psi_{n,\tau}(s)$al problema de Schrödinger dependiente del tiempo

$i \frac{d}{d t} \psi_{n,\tau}(t) = H(s) \psi_{n,\tau}(t) \ \ \ \ , \ \psi_{n,\tau}(0) = \psi_{n,\tau} \ ,$

Pero la ecuación de Schrödinger no gobierna la dependencia de$\psi_{n,\tau}$en el parámetro$\tau$(que he elegido para ser una letra griega, para enfatizar que su papel es muy diferente al de la época$t$).

El conjunto$\{\psi_{n,\tau}\}_n$es una base como cualquier otra base, por lo que uno puede expandir el vector en el tiempo$t$en esta base utilizando coeficientes dependientes del tiempo$\tilde{c}_n(t)$:

$\psi(t) = \sum_n \tilde{c}_n(t) \psi_{n,\tau} \ .$

Pero esto realmente no aporta una ventaja para resolver el problema de Schrödinger, porque el$\psi_{n\tau}$no son vectores propios de$H(t)$para$t \neq \tau$.

Lo que hiciste es expandir$\psi(t)$en los autoestados instantáneos$\psi_{n,t}$como

$\psi(t) = \sum_n c_n(t) \psi_{n,t}$.

Ahora actuando con$H(t)$da

$H(t) \psi(t) = \sum_n E_{n,t} c_n(t) \psi_{n,t} \ .$

Sin embargo, ahora la derivada del tiempo que actúa sobre$\psi(t)$es mas complicado:

$i \frac{ d\psi(t)}{dt}(t) = \sum_{n} \left[ i \frac{ d c_n}{dt}(t) \psi_{n,t} + c_n(t) i \frac{ d \psi_{n,t} }{dt} \right] \ .$

Es posible que conozca el proyecto para$\psi_{m,t}$, pero la ecuación que obtienes es

$i \frac{ d c_m}{dt}(t) = E_{m,t} c_m(t) - \sum_{n} c_n(t) \left\langle \psi_{m, t}, i \frac{ d \psi_{n,t} }{dt} \right \rangle \ ;$

Y esto ya no es fácil de resolver. Quizás le interese el tema de la mecánica cuántica adiabática , que es básicamente una teoría de pertubación que ignora los elementos fuera de la diagonal de la matriz.$K_{mn}(t) = \left\langle \psi_{m, t}, i \frac{ d \psi_{n,t} }{dt} \right \rangle$.