¿Puede una ecuación de Schrödinger de segundo orden conservar la norma?

No, la norma no se mantendría. Para simplificar, supongamos que el hamiltoniano es independiente del tiempo con valores propios discretos (pero posiblemente degenerados)$E_n$. Entonces nosotros tenemos

$$\begin{align*} |\psi(t)\rangle &= \sum_n c_n(t)\, |E_n\rangle \\ i \hbar \partial_t^2 |\psi(t)\rangle &= H |\psi(t)\rangle \\ i \hbar \sum_n \ddot{c}_n(t)\, |E_n\rangle &= \sum_n c_n(t)\, E_n |E_n\rangle \\ \sum_n (i \hbar \ddot{c}_n(t)- c_n(t)\, E_n) |E_n\rangle &= 0 \\ \ddot{c}_n(t) + \frac{i}{\hbar} E_n c_n(t) &= 0 \\ c_n(t) &= \exp \left( \sqrt{-\frac{i E_n}{\hbar}} t \right) = \exp \left( \sqrt{\frac{E_n}{\hbar}} e^{-\frac{i \pi}{4}} t \right) \\ |c_n(t)|^2 &= c_n(t)\, c_n^*(t) = \exp \left( \sqrt{\frac{2 E_n}{\hbar}} t \right) \end{align*}$$

y$|\psi(t)|^2$crece exponencialmente con el tiempo. El problema es ese$e^{-i E_n / \hbar}$evoluciona conservando la norma con el tiempo, pero la segunda derivada trae una raíz cuadrada que rota el exponente imaginario puro para que tenga una parte real, lo que estropea las cosas.

Pero su modificación propuesta no es realmente la físicamente natural de todos modos. Por un lado, tenga en cuenta que su "$\hbar$" tiene unidades diferentes a la física. En lugar de dejar el$i\hbar$como está pero cambiando el$\partial_t$a un$\partial_t^2$, la modificación más natural a la ecuación de Schrödinger que la hace de segundo orden es "cuadrar" los operadores en ambos lados, es decir, cambiar$i \hbar \partial_t$a$(i \hbar \partial_t)^2 = -\hbar^2 \partial_t^2$y$H$a$H^2$, Llegar

$$-\hbar^2 \partial_t^2 |\psi(t)\rangle = H^2 |\psi(t)\rangle.$$ En el caso del hamiltoniano $H^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$para una partícula relativista, esto se conoce como la ecuación de Klein-Gordon, y aunque tiene el mismo problema de norma no constante, resulta que describe con precisión la evolución temporal de un campo cuántico relativista escalar (no una partícula, como se podría esperar).

La respuesta a su pregunta es que para condiciones iniciales genéricas la respuesta es no. Daré un contraejemplo explícito a continuación.

En primer lugar, vivimos en un universo donde las ecuaciones de Schrödinger se pueden escribir como una ecuación de segundo orden: solo aplique$- \mathrm{i} \partial_t$a la ecuación de Schrödinger (de primer orden)

$$\begin{align} \mathrm{i} \partial_t \psi(t) = H \psi(t) , && \psi(0) = \phi \in \mathcal{H} , \label{Schroedinger_equantion} \end{align}$$ y obtenga la ecuación de onda de segundo orden $$\begin{align} \partial_t^2 \psi(t) = - H^2 \psi(t) , \label{wave_equation} \end{align}$$ con las condiciones iniciales $$\begin{align*} \psi(0) = \phi , \; \partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi . \end{align*}$$ Tenga en cuenta que, como ecuación de segundo orden, debe especificar no solo $\psi(0)$sino también su derivada temporal como condición inicial. Además, para asegurarse de que lo que obtiene sea realmente equivalente a la ecuación de Schrödinger, debe elegir una condición inicial \emph{particular} para $\partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi$. Otras opciones le darán otras ecuaciones, pero ninguna de ellas es equivalente.

Como puede ver, si elige una condición inicial que sea compatible con la ecuación de Schrödinger, las soluciones tendrán las propiedades habituales, por ejemplo, la norma$\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi(0) \rVert$. Pero para las opciones genéricas, esto no tiene por qué ser cierto: elija$H = \sigma_3$de modo que$H^2 = \mathbb{1}$. Entonces la ecuación de onda es simplemente

$$\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) = 0 , \end{align*}$$ así que dos copias de la ecuación de onda habitual. las soluciones son $$\begin{align*} \psi(t) = c_- \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i} t} + c_+ \, \mathrm{e}^{+ \mathrm{i} t} \end{align*}$$ donde los coeficientes $c_{\pm} \in \mathbb{C}^2$debe determinarse a partir de las condiciones iniciales. ahora elige $\psi(0) = c_+ + c_- = (2,2)$y $\partial_t \psi(0) = (0,0) = \mathrm{i} (c_+ - c_-)$como condiciones iniciales. Eso lleva a $c_- = c_+ = 1$, y por lo tanto $$\begin{align*} \psi(t) = 2 \cos t \, \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right ) , \end{align*}$$ y la norma $\lVert \psi(t) \rvert = 2 \sqrt{2} \, |\cos t|$de este vector evidentemente oscila en el tiempo y por lo tanto no se conserva. Para la condición inicial especial $\partial_t \psi(0) = - \ii H \psi(0)$, sin embargo, la norma se conserva.

Permítanme recopilar mis comentarios anteriores para que el mensaje "a veces, pero no siempre" no se pierda.

El argumento habitual a favor de la ecuación de Schr convencional con hermita, independiente del tiempo$\mathbb{K}$,

$$i\hbar\partial_t \langle \varphi|\varphi\rangle = \langle \varphi|\mathbb{K}- \mathbb{K}^\dagger|\varphi\rangle=0 ,$$ se pierde ostensiblemente, ya que sólo se obtiene $$i\hbar\partial_t (\langle \varphi|\dot \varphi\rangle -\langle \dot \varphi|\varphi\rangle)= \langle \varphi|\mathbb{H}+ \mathbb{H}^\dagger|\varphi\rangle$$ de esta manera—integración por partes. Entonces, para antihermitean $\mathbb{H}$, obtienes una cantidad conservada, pero no es la norma.

Sin embargo, el núcleo de$(iℏ∂_t−\mathbb{K})$también estará en el núcleo de$(iℏ∂^2_t−\mathbb{K}^2/iℏ)$, es decir, las soluciones estándar invariantes de la ecuación de Schr para$\mathbb{K}$también resolverá tu ecuación con$\mathbb{H}=−i\mathbb{K}^2/ℏ$, que también tendrá soluciones "malas", naturalmente.

Puede ilustrar esto esquemáticamente (dejando de lado la definición de los problemas de la norma; puede modular trivialmente su respuesta mediante filtros gaussianos espaciales), con el ejemplo más trivial,$\mathbb{K}=ℏω$, por eso$\mathbb{H}=−iℏω^2$, donde obtienes soluciones oscilatorias$\exp(±iωt)$preservando la norma; mientras que sus combinaciones trigonométricas,$\cos(ωt), ~\sin(ωt)$, naturalmente, no.