¿Cómo satisfacen los kets base la ecuación de Schrödinger en la imagen de Schrödinger y por qué no evolucionan con el tiempo?

Dado que los kets básicos no evolucionan con el tiempo.$|a',t\rangle=|a'\rangle$

Esta es una mala lectura de esa declaración. Cuando decimos que los kets de base propia de energía de un hamiltoniano independiente del tiempo no evolucionan con el tiempo, lo que queremos decir es que si$H|E\rangle = E|E\rangle$entonces

$$|\Psi_E(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|E\rangle$$ es una solución de la ecuación de Schrödinger, que comienza en$|\Psi_E(0)\rangle = |E\rangle$y que mantiene un producto interior unitario con su condición inicial, $$|\langle \Psi(0)|\Psi(t)\rangle| = |\langle E |\Psi(t)\rangle| = 1.$$ El factor de fase$e^{-iEt/\hbar}$es absolutamente crucial para que se satisfaga la ecuación de Schrödinger. Por otra parte, en un momento dado$t$actúa como un factor de fase global, que es irrelevante para cualquier observable físico, por lo que se justifica decir que el ket base no evoluciona 'realmente' con el tiempo.

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Para su segunda pregunta, sus manipulaciones iniciales son correctas y se entienden mejor en la forma

$$A\ U|a\rangle = U\ A|a\rangle = U\ a|a\rangle = a\ U|a\rangle$$ (donde he dejado caer los números primos, para$A|a\rangle = a|a\rangle$, porque el tuyo no tenía ningún sentido). En otras palabras, si comienzas en un vector propio$|a\rangle$de$A$con valor propio$a$y$A$viaja con$H$, entonces el estado de evolución temporal$U(t)|a\rangle$siempre será un estado propio de$A$.

Ahora, si sabes que$A$no es degenerado en ese espacio propio, entonces esa combinación le permite concluir que$|a\rangle$es también un estado propio de$H$y la evolución del tiempo se mantendrá$U(t)|a\rangle$como múltiplo de$|a\rangle$.

Por otra parte, es perfectamente posible que$A$tener un espacio propio degenerado allí, en cuyo caso$U(t)|a\rangle$puede tener una dependencia temporal no trivial. Si quieres un ejemplo explícito, prueba

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \text{under} \ H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ con$|a\rangle = (1,0,0)$.

Solo los kets que representan sistemas físicos ("vectores de estado") satisfacen la ecuación de Schrödinger. Los kets básicos no representan sistemas físicos, sino solo un sistema de coordenadas, por lo que no lo hacen.

Su pregunta es análoga a preguntar por qué las coordenadas de un punto aleatorio en el espacio no satisfacen las ecuaciones de Hamilton o Euler-Lagrange. Simplemente no hay nada allí para evolucionar en el tiempo.

Es cierto que los kets no evolucionan con el tiempo (los kets no son funciones del tiempo). Sin embargo, el vector de estado $|\psi(t)\rangle$evoluciona con el tiempo (ya que estamos en la imagen de Schrödinger).

Es decir, creo que no estás distinguiendo entre el conjunto propio$|a'\rangle$del operador$A$y el vector de estado$|\psi(t)\rangle$que es una función de tiempo de valor ket que satisface la ecuación de Schrödinger.

Asumiendo el hamiltoniano$H$es independiente del tiempo y estipula que el vector de estado en el tiempo$t = 0$es el ket$|\psi_0\rangle$, el vector de estado en cualquier otro momento$t$es dado por

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle - \frac{it}{\hbar}H|\psi_0\rangle + \cdots$$

Dado que, en general,$H|\psi_0\rangle$no es proporcional a$|\psi_0\rangle$, el vector de estado en el tiempo$t \ne 0$está en un rayo diferente que$|\psi_0\rangle$. Sin embargo , en el caso de que$H|\psi_0\rangle = E|\psi_0\rangle$, tenemos

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|\psi_0\rangle$$

y así el vector de estado permanece en el rayo inicial (como los estados son rayos , todos$e^{i\theta}|\psi_0\rangle$representan el mismo estado).

En resumen, si$|\psi_0\rangle = |a'\rangle$entonces, a menos que$A$viaja con$H$, el vector de estado$|\psi(t)\rangle$evolucionará con el tiempo a un ket en un rayo diferente. De nuevo,$H$no evoluciona el ket$|a'\rangle$pero, más bien,$H$evoluciona el vector de estado$|\psi(t)\rangle$

Creo que hay mucha confusión en lo que escribiste. La ecuación de Schrödinger se satisface, por supuesto, no por los propios mercados propios, sino por los coeficientes de expansión de cualquier estado expandido sobre la base de los mercados propios. Los autoconsumos se definen como independientes del tiempo exactamente porque, para un estado general, la dependencia temporal de cada coeficiente de expansión en la base del autoconsumo es realmente simple. Para dejar esto claro, para cualquier estado$|\psi\rangle$, tome un conjunto completo de autos$(|a_1\rangle,|a_2\rangle,|a_3\rangle,...)$, entonces el estado$|\psi\rangle$se puede expresar como:

$$|\psi\rangle=\sum_n c_n(t)*|a_n\rangle$$

Entonces$|\psi\rangle$es en realidad$|\psi(t)\rangle$, y satisface la ecuación de Schrödinger. Entonces si el$|a_n\rangle$son los autos del hamiltoniano, entonces la dependencia temporal de los coeficientes de expansión es simplemente la habitual$e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}$, y la expansión del estado es justa:

$$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(0)*e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}*|a_n\rangle$$