¿Por qué la matriz de densidad ρρ\rho obedece a una ecuación de movimiento de Heisenberg con signo erróneo?

$\rho_\psi$, la matriz de densidad, no es un observable/operador que evolucione en el sentido de la ecuación de movimiento de Heisenberg

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} A = - [H,A]$$ ya que se define, como usted escribe correctamente, como un proyector de estados, por lo tanto, es dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger (ya que allí los estados sobre los que se proyecta son dependientes del tiempo), obedeciendo a la ecuación de von Neumann $$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_\psi = [H,\rho_\psi]$$ como consecuencia directa de la ecuación de Schrödinger. De hecho, la ecuación de von Neumann difiere de la ecuación de movimiento de Heisenberg en un signo porque no es una ecuación en la imagen de Heisenberg , sino en la imagen de Schrödinger.

En la imagen de Heisenberg, los estados son independientes del tiempo y, en consecuencia, la matriz de densidad no evoluciona. En particular, no obedece a la ecuación de movimiento de Heisenberg.

También puede ver esto considerando que$\mathrm{Tr}(\rho_\psi A)$es el valor esperado de un operador para un estado particular. Toma entradas - la "entrada de estado"$\rho_\psi$y la "entrada del operador"$A$. En las imágenes de Schrödinger y Heisenberg, solo uno de estos debería depender del tiempo, incluso si ambos "parecen" operadores.

Aparentemente, su pregunta se debe a la falta de comprensión de las diferentes imágenes en la mecánica cuántica, que son la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg y la imagen de interacción.

En la imagen de Schrödinger, los estados evolucionan en el tiempo, mientras que los observables son independientes del tiempo. La matriz de densidad es otra forma (más general) de escribir el vector de estado; su evolución temporal se deriva de la ecuación de von-Neumann, que se puede derivar de la ecuación de Schrödinger y su conjugado hermitiano, dada por

$$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} = H | \psi \rangle_\mathrm{S},$$ y $$-\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} {}_{\mathrm S}\langle \psi(t)| = {}_{\mathrm S}\langle \psi(t)|H .$$ Tome la derivada temporal de la matriz de densidad aquí para un estado puro (cuidado, hay derivadas parciales, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28Hamiltonian%29#Quantum_Liouville_equation ) y use la regla del producto , usted obtiene $$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\rho_{\mathrm S} (t) = \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| = \mathrm i \hbar \Bigl( \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \Bigr) {}_\mathrm{S} \langle \psi(t)| + \mathrm i \hbar | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \Bigl( \frac{\partial}{\partial t} {}_\mathrm{S} \langle \psi(t)|\Bigr) .$$ Ahora puedes tirar de la$\mathrm i \hbar$dentro del corchete y sustituya cada uno de los corchetes por los lados izquierdos correspondientes de la ecuación de Schrödinger y su conjugado hermitiano, para obtener $$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| = H | \psi \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| - | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)|H = [H,\rho_{\mathrm S}(t)].$$

En la imagen de Heisenberg, los observables evolucionan en el tiempo, mientras que los estados son constantes. La matriz de densidad se puede establecer en cualquiera de estas imágenes, donde se toma el valor esperado de un observable$A$siempre vía$\mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm S}(t) A_{\mathrm S}] = \mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm H} A_{\mathrm H}(t)]$. Aquí$\mathrm S$y$\mathrm H$denote la imagen de Schrödinger y Heisenberg. Tenga en cuenta que

$$\rho_{\mathrm S}(0) = \rho_{\mathrm H} \text{ and } A_{\mathrm H} (0) = A_{\mathrm S} .$$

Al utilizar el operador de evolución temporal unitaria, podemos mostrar la equivalencia de las imágenes con bastante facilidad para la matriz de densidad. Se da el operador de evolución unitaria (para hamiltonianos independientes del tiempo$H$)

$$U(t) = \mathrm e^{-\mathrm i H t/\hbar} .$$ La matriz de densidad en el tiempo$t$se da entonces en la imagen de Schrödinger por $$\rho_\mathrm{S} (t) = U(t) \rho_{\mathrm S} (0) U^\dagger (t) ,$$ mientras que los operadores evolucionan en la imagen de Heisenberg como $$A_\mathrm{H} (t) = U^\dagger(t) A_{\mathrm H} (0) U (t) .$$

Entonces encontramos para el valor de expectativa para el observable$A$la siguiente:

$$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm S}(t) A_{\mathrm S}] = \mathrm{Tr} [ U(t) \rho_{\mathrm S}(0) U^\dagger (t) A_{\mathrm S} ]$$ en el cuadro de Schrödinger. Ahora podemos cambiar muy fácilmente a la imagen de Heisenberg usando la propiedad cíclica de la traza, es decir $$\mathrm{Tr} [ABC] = \mathrm{Tr} [BCA] = \mathrm{Tr} [CAB] ,$$ ciclando el primer operador unitario hasta el final, por lo que obtenemos $$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm S}(0) U^\dagger (t) A_{\mathrm S} U(t)] .$$ Usando la equivalencia de las dos imágenes en$t=0$, podemos reqrite esto como $$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm H} U^\dagger (t) A_{\mathrm H}(0) U(t)] = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm H} A_{\mathrm H}(t)].$$

En realidad, puedes usar la dualidad:

los estados normales de la mecánica cuántica son objetos del (único) predual del álgebra de von Neumann de los observables cuánticos.

Usando un ejemplo concreto: si el álgebra de observables son los operadores acotados en un espacio de Hilbert, los predual son los operadores de clase de traza. De ellos, los estados normales son los positivos, autoadjuntos y de norma traza uno.

Es entonces claro que por dualidad mutua la evolución sobre observables/estados induce la evolución de estados/observables; y eso tiene en cuenta el "signo menos" en el generador que es diferente entre los dos.