¿Existe un equivalente a la ecuación de Schrödinger para la mecánica cuántica sobre los reales?

Muchas personas han considerado alternativas a la mecánica cuántica estándar en las que el espacio de Hilbert está sobre los números reales en lugar de los números complejos; consulte, por ejemplo, aquí , aquí , aquí , aquí , aquí y aquí . En general, esta teoría alternativa es sorprendentemente similar a la mecánica cuántica estándar sobre los números complejos:

Todos los grandes éxitos siguen ahí: interferencia, entrelazamiento, violaciones de la desigualdad de Bell, observables que no conmutan, descomposiciones no únicas de estados mixtos, computación cuántica universal, el efecto Zeno, los teoremas de Gleason y Kochen-Specker.

Pero no estoy seguro de cómo se generalizaría la ecuación de Schrödinger al escenario real. Para obtener un operador de evolución temporal unitario, debe exponenciar un operador anti -hermitiano. El único operador convenientemente disponible es el hamiltoniano, que es el hermitiano. Afortunadamente, con los números complejos hay una manera fácil de convertir un operador hermitiano en uno antihermitiano: simplemente lo multiplicas por − i , como se hace en la ecuación de Schrödinger. Pero con los números reales, no puedo pensar en ninguna forma natural de convertir el operador hamiltoniano simétrico en un operador antisimétrico que se exponen a un operador de evolución temporal ortogonal. ¿Cómo funcionaría esto?

@Qmechanic No creo que ninguno de esos sean duplicados.

Respuestas (2)

Mecánica cuántica para una función de onda real ψ ( r , t ) tiene la ecuación de onda ("ecuación de Schrödinger")

ℏ ∂ ∂ t ψ ( r , t ) = A ψ ( r , t ) ,
dónde A es un verdadero operador anti-hermitiano ("Hamiltoniano"). Un fermión de Majorana en la superficie 2D de un superconductor topológico proporciona una realización, con un espinor de dos componentes ψ ( X , y , t ) y un 2 × 2 matriz hamiltoniana A con elementos
A = v ( ∂ / ∂ y ∂ / ∂ X ∂ / ∂ X − ∂ / ∂ y ) + ( 0 V ( X , y ) − V ( X , y ) 0 ) .
(El coeficiente v es la velocidad independiente de la energía de los fermiones de Majorana y V es una magnetización espacialmente dependiente.)

Una observación: ¿qué es un espinor real? Los espinores se definen en C AFAIK, el espinor real es solo un vector de dos componentes, que contiene menos información que el espinor complejo.
Los espinores de Majorana son una representación real del álgebra de Clifford

Si tienes un operador simétrico S , puede convertirlo en uno antisimétrico incrustándolo en una estructura compleja. Por ejemplo, el análogo de multiplicar el autoadjunto H por i seria el producto tensorial

j ⊗ S

dónde j es la forma simpléctica de R 2 . En la incrustación, S se identifica con I 2 ⊗ S , dónde I 2 es el 2 × 2 matriz de identidad.

No debería sorprender que este truco de incrustación y la configuración compleja conduzcan al mismo resultado. En ambos casos has duplicado el número de dimensiones reales.

Es un punto justo, pero yo diría que este truco viola el espíritu de QM de valor real al introducir a escondidas la estructura compleja por la puerta trasera. En particular, el operador "antisimetrizado" actúa en un espacio de Hilbert diferente (más grande) que el original.
¿Existe un equivalente a la ecuación de Schrödinger para la mecánica cuántica sobre los reales?
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