Resolver la ecuación de Schroedinger 1D independiente del tiempo con condiciones de contorno en el infinito espacial

Question

Resolver la ecuación de Schroedinger 1D independiente del tiempo con condiciones de contorno en el infinito espacial

usuario42363

En mi clase introductoria de física moderna, hemos examinado soluciones independientes del tiempo para la ecuación de Schrödinger en 1 dimensión. Observamos algunos casos sin límite finito, por ejemplo, partículas libres y potenciales de paso con $V_{\mathrm{max}} < E$ . En cada ejemplo, en clase y en todo el material introductorio que encontré, se afirmó sin justificación matemática que la solución exponencial compleja recíproca debe ignorarse como "no física". Particularmente, aunque una solución matemáticamente más completa sería de la forma

A {mi}^{i α X} + B {mi}^{- i α X},

$A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha x} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha x},$ Solo he visto soluciones en la región ilimitada donde

B = 0

$B=0$ bajo la interpretación de que su término sería el resultado de alguna reflexión, lo que no puede ocurrir si no hay un límite alcanzable. La declaración usual dice, "el término en

B

$B$ tiene una velocidad negativa y no es físico..." Encuentro esto muy insatisfactorio. No estoy convencido de que sea apropiado usar el término "velocidad" en este caso (¿afirman que la ecuación de onda independiente del tiempo "se propaga"?), a menos que sea con respecto a algún aspecto de la probabilidad actual (cuyo concepto no está en el plan de estudios). Un límite infinito es un concepto no físico en sí mismo. La solución ni siquiera es integrable al cuadrado, por lo que puedo decir. Por mi vida, encontrar una justificación matemática, o más que una oración de explicación (todas basadas, al parecer, en una analogía implícita con la física de una cuerda). Simplemente parece arbitrario, o como una excusa para evitar una tratamiento más complejo que creo que valdría la pena.

¿Existe una justificación para esta suposición que se pueda escribir matemáticamente? Simplemente se siente como un truco para simplificar un experimento mental poco definido.

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qmecanico · Answer 1

Aquí está nuestra interpretación de la pregunta de OP: estamos hablando esencialmente de la forma asintótica de los estados de dispersión de energía positiva en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE) para las dos regiones libres $x \to \pm \infty$ . (Como señala OP, los estados de dispersión no son normalizables y, por lo tanto, no pertenecen al espacio de Hilbert. Sin embargo, pueden tratarse matemáticamente a través de un formalismo de espacio de Hilbert manipulado ). En una convención $^1$ , tenemos asintóticamente

ψ (X) \sim {\begin{array}{rcl} A {mi}^{- i k X} + R {mi}^{i k X} & para & X \to + \infty, \\ T {mi}^{- i k X} & para & X \to - \infty . \end{array}

$\psi(x) ~\sim~ \left\{\begin{array}{rcl}~Ae^{-ikx} + Re^{ikx} & \text{for}& x\to +\infty, \cr\cr Te^{-ikx} & \text{for}& x\to -\infty.\end{array}\right.$

En otras palabras: tenemos tres ondas: una de movimiento hacia la izquierda entrante, una transmitida ( $T$ ) motor a la izquierda, y un reflejo ( $R$ ) motor a la derecha.

1) ¿Qué pasó con la cuarta posibilidad: un motor a la derecha entrante? $Be^{ikx}$ para $x\to -\infty$ ?

Hemos mantenido cero la cuarta posibilidad como condición límite para imitar el proceso de dispersión de una onda entrante que se divide en una onda reflejada y otra transmitida. (Por supuesto, en principio, también se podría estudiar la dispersión de dos ondas entrantes, es decir, las cuatro posibilidades. Esto se hace, por ejemplo, en esta respuesta Phys.SE).

2) ¿Cómo podemos hablar de motores entrantes y salientes hacia la izquierda y hacia la derecha para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ?

Esa es esencialmente la pregunta que se hace en esta publicación de Phys.SE.

--

$^1$ También hay una convención reflejada de izquierda a derecha.

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usuario42363

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qmecanico

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