¿Por qué analizamos el problema de potencial escalonado en mecánica cuántica con soluciones no normalizables?

Mientras leía la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths y usaba las conferencias MIT 8.04 QP-1 de Adam Allans como fuente complementaria para comprender el tema de la dispersión de partículas para el potencial escalonado, me encontré con un problema que Griffiths menciona de manera interesante para la barrera de potencial Delta, pero es La resolución no me queda muy clara.

Cuando hacemos el análisis de una partícula con energía mi mayor que la barrera de potencial escalonado V es decir mi > V y suponiendo que la barrera está colocada en X = 0 , entonces las funciones propias de energía al resolver la ecuación de valor propio de energía (ecuación de Schrödinger independiente del tiempo) resultan ser

ψ ( X ) = A mi i k 1 X + B mi − i k 1 X X < 0   ψ ( X ) = C mi i k 2 X + D mi − i k 2 X X > 0  
Ahora que estas soluciones no son normalizables, debemos construir un paquete de ondas de la forma
1 2 π ∫ − ∞ ∞ mi i k X ϕ ( k ) d k
(no muy seguro acerca de los límites del número de onda k ) y luego utilizarlos para satisfacer las condiciones de contorno de continuidad y diferenciabilidad en X = 0 . Pero después de mirar muchas fuentes, los autores utilizan principalmente estas soluciones no normalizables para un análisis más detallado de las probabilidades de transmisión y reflexión de la función de onda.

Sería muy bueno si alguien pudiera proporcionar un razonamiento sobre por qué se pueden usar estas funciones y, de no ser así, cómo se usaría el paquete de ondas para satisfacer las condiciones de contorno en X = 0 .

Esta publicación (v2) parece ser esencialmente una versión de la pregunta ¿ Por qué podemos tratar los problemas de dispersión cuántica como independientes del tiempo?
Bueno, la pregunta es bastante similar, pero no encontré ninguna respuesta comprensible para mi nivel de conocimiento. Ninguna de las respuestas explica cómo, si aplicamos las condiciones de contorno a las superposiciones de ondas entrantes, reflejadas y transmitidas en el paso, aún daría como resultado un resultado similar al análisis. En resumen, estoy atascado en cuanto a cómo hacer el ejercicio similar para soluciones normalizables, incluso si dan el mismo resultado.
¿Qué soluciones normalizables? ¿Te refieres a paquetes de ondas dependientes del tiempo?
@Qmecánico Sí. Entonces, todos en su análisis usan las ondas que se mueven hacia adelante y hacia atrás (A por exp + B por exp) como la función de onda para satisfacer las condiciones de contorno. Lo que siento es que deberíamos usar paquetes de ondas (dependientes o independientes del tiempo porque solo estamos satisfaciendo las condiciones de contorno en cualquier momento arbitrario, digamos t = 0). Eso es lo que quiero decir con el uso de las soluciones normalizables.
No existen soluciones normalizables independientes del tiempo.
¿No es la superposición, es decir, la integral continua de las exponenciales sobre k, también una función propia de energía, también conocida como la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo? Bueno, A exp(ikx) + B e(-ikx) es una solución, por lo que una superposición de estos con k variable también debería ser una solución. Y olvidando esa pregunta por completo, tal vez solo tengamos una solución dependiente del tiempo normalizable, aún así, ¿cómo satisfaría las condiciones de contorno?
"Lo que siento es que deberíamos usar paquetes de ondas [...]" Al menos en las escuelas donde aprendí y enseñé, a la mayoría de los estudiantes se les presenta QM en general y este problema en particular en un momento en el que realmente no saben matemáticamente. lo suficientemente maduro para ese enfoque. No es que requiera ningún paso para el que no estén preparados, solo que el tamaño y la abstracción del tratamiento exceden su preparación. Y a pesar de las cuestiones filosóficas, el enfoque basado en ondas planas obtiene las respuestas correctas .
@dmckee PERO, el análisis no debería tener sentido porque el requisito general de una función de onda es la normalización. Pero si considera que el enfoque del paquete de ondas es matemáticamente difícil, me encantaría que alguien pudiera proporcionar una justificación de por qué "el enfoque basado en ondas planas obtiene las respuestas correctas".
Que puedo abordar.

Respuestas (2)

En los comentarios sobre la pregunta, mencioné que la solución de onda plana "obtiene las respuestas correctas". La razón de esto está relacionada con la noción de independencia del tiempo.

Cualquier experimento en el que dispare una sola partícula a una barrera/sitio de dispersión y luego mida dónde aterriza la partícula saliente en un experimento intrínsecamente dependiente del tiempo y corresponde al tratamiento del problema por paquetes de ondas.

Pero si queremos manejar el problema en el contexto de TISE, necesitamos un experimento que sea independiente del tiempo, y eso significa un experimento de haz continuo . Un ejemplo de aula es un experimento de difracción en el que apuntamos un láser a través de una rendija/sistema de rendijas/etalón/etc. y observamos el patrón de intensidad que se desarrolla en una pantalla. Cualquiera de estas demostraciones dura un número saganesco de períodos y puede razonablemente ser tratada como eterna.

Pero en el caso de un haz (idealmente eterno) no esperamos que la función de onda se normalice a uno porque no hay una sola partícula. Hay (en la versión idealizada) un número infinito de partículas de haz, por lo que tener

∫ espacio ψ ∗ ψ d X
Diverger no solo está bien, sino que se espera (en el sentido de que las matemáticas físicas simplemente descartan detalles técnicos molestos). Supongo que debería haber algún requisito de que el infinito que proviene de esa suma permanezca constante (lo que sea que eso signifique).

Para que esto funcione, necesitamos que las partículas individuales del haz no interactúen entre sí, pero eso es más o menos automático en el caso de un láser de baja potencia.

No preferiría entrar en una situación compleja como situaciones dependientes o independientes del tiempo y si la probabilidad diverge o no en tal sistema. Mi pregunta es mucho más sencilla, ¿por qué este análisis con ondas planas y con paquetes de ondas da la misma respuesta? Espero que entiendas mi punto.
¿Entiende la razón por la que existe el requisito de normalización en primer lugar?
Bueno, para ser honesto, no sé exactamente el motivo de la normalización. He leído sobre el hecho de que la partícula tiene que estar en alguna parte y desde
| ψ | 2
es la densidad de probabilidad que implica que
∫ − ∞ ∞ | ψ | 2 d X = 1
Esto es lo que sé sobre la normalización de una sola partícula.
Bien. La normalización se trata de hacer cumplir la representación de una sola partícula o sistema. Pero si dices "Quiero resolver una versión del problema con un número ilimitado de partículas" (y no tienes que preocuparte por las interacciones entre partículas, y hay un sistema físico que está razonablemente modelado de esa manera) puede eliminar ese requisito y hacer la versión más fácil del problema matemático. Obtiene las mismas probabilidades porque todavía está resolviendo la misma ecuación diferencial, solo puede usar una función más simple.
Entonces, quiere decir que si asumimos que el sistema es un sistema de número arbitrario de partículas, entonces podemos eliminar la condición de normalización y resolver la ecuación diferencial para una onda que "no es de una partícula" sino "una función de onda de muchas partículas" ? Algo por el estilo, ¿eh?
Pero supongamos que solo estoy mirando un sistema de una sola partícula. Solo disparo una sola partícula en el paso potencial y quiero averiguar las probabilidades de reflexión y transmisión. Entonces, la condición de normalización tiene que ser satisfecha y tengo que asumir un paquete de ondas como la función de onda con una energía distribuida alrededor de alguna media. ¿Puede proporcionar un poco de ayuda sobre cómo se haría ese análisis?

En este problema no tenemos que considerar ninguna dependencia del tiempo. Es como si la partícula estuviera presente en la vecindad del potencial de paso y 'congelada' en el tiempo. De nuevo, no podemos precisar la posición de la partícula en el gráfico Energía versus Posición ya que eso violaría el principio de Incertidumbre y es por eso que tenemos que considerar/resolver para todo el rango del espacio (es decir, a la izquierda y a la derecha del potencial escalonado) en el mismo instante de tiempo. No es como una película del mundo clásico donde una partícula viaja desde el infinito, golpea el potencial y sale volando; donde los tres eventos ocurren en diferentes instantes de tiempo.

Puedes imaginar esto crudamente como si hubiera una especie de canal unidireccional, uno que va a la izquierda y otro a la derecha con factores de peso A y B. La partícula solo puede hacer uso de estas pistas preexistentes. De ninguna manera vemos una partícula viajando en el espacio en función del tiempo. Cuando resolvemos para | B A | 2 o | C A | 2 , estamos determinando la probabilidad de que la partícula termine a la izquierda o a la derecha de X = 0 cuando nosotros, decimos observarlo.

También preguntó sobre el uso de un paquete de ondas y luego la aplicación de las condiciones de contorno. Creo que puede ser una tarea difícil ya que un paquete de ondas (partículas) que se mueve en el espacio comienza a decaer en el momento en que introducimos el tiempo en la ecuación. Es como si la onda tiende a alargarse en ambos extremos, lo que dificulta la normalización y la aplicación de condiciones de contorno.

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