Representaciones masivas de espín-sss del grupo de Poincaré en el espacio de campos de tensor de espín

Contexto

Lo siguiente es del libro "Ideas y métodos en supersimetría y supergravedad" de IL Buchbinder y SM Kuzenko, pág. 56-60. Se trata de realizar las representaciones masivas irreductibles del grupo de Poincaré como campos de tensor de espín que se transforman bajo ciertas representaciones del grupo homogéneo de Lorentz y están sujetas a unas condiciones suplementarias.

Considere el espacio lineal$\mathcal{H}_{(A,B)}$de$(A/2,B/2)$escriba los campos de tensor de espín$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$totalmente simétrica en sus índices A sin punto e independiente en sus índices B punteados, con$A+B=2s$y que cumplan las siguientes condiciones complementarias:

$$\begin{cases}\partial^{\dot{\alpha}\alpha}\Phi_{\alpha\alpha_1\cdots\alpha_{A-1}\dot{\alpha}\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_{B-1}}(x)=0 && (1)\\ (\partial^a\partial_a-m^2)\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)=0&&(2)\end{cases}$$ Aquí $\partial_{\alpha\dot{\alpha}}=(\sigma^a)_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_a$y $\partial^{\dot{\alpha}\alpha}=(\tilde{\sigma}^a)^{\dot{\alpha}\alpha}\partial_a=\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\varepsilon^{\alpha\beta}(\sigma^a)_{\beta\dot{\beta}}\partial_a$, $\sigma^a=(\text{Id},\vec{\sigma})$y $\tilde{\sigma}^a=(\text{Id},-\vec{\sigma}).$Mi convención métrica es $\eta_{ab}=\text{Diag}(-1,1,1,1)$, los índices de espinor son letras griegas mientras que los índices de Lorentz son latinos.

Considere el siguiente mapa uno a uno:

$$\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~~\dot{\alpha}_B}: \mathcal{H}_{(A,B)}\rightarrow \mathcal{H}_{(A+1,B-1)}$$ $$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\alpha_{A+1}\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_{B-1}}(x):=\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x) ~~\text{ where }~~ \Delta_{\alpha_{A+1}}^{~~\dot{\alpha_B}}=\frac{1}{m}\partial_{\alpha_{A+1}}^{~~\dot{\alpha_B}}$$ El mapa es uno a uno porque se puede mostrar, usando la condición de capa de masa (1), que tiene un inverso definido por $\Delta_{\alpha}^{~~\dot{\alpha}}\Delta^{\beta}_{~~\dot{\alpha}}=\delta_{\alpha}^{\beta}$. Aunque para el propósito de este hilo no es necesario mirar el mapa inverso.

Pregunta

Para mí, no es obvio que después de haber actuado sobre un elemento de$\mathcal{H}_{(A,B)}$con$\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~~\dot{\alpha}_B}$, el resultado es totalmente simétrico en sus índices sin puntos, incluido el adicional creado a través del mapa. Sin embargo, esta es una afirmación del autor. Así que me gustaría probar lo siguiente:

$$\Delta_{({\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A)\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)=\Delta_{{\alpha}_{A+1}}^{~~\dot{\alpha}_B}\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$$

Intentar

Estoy casi seguro de que el resultado debería derivarse de la condición suplementaria (2) (que a veces se denomina condición de 'selección de giro') junto con el hecho de que$\Phi_{\alpha_1\cdots\alpha_A\dot{\alpha}_1\cdots\dot{\alpha}_B}(x)$es totalmente simétrica en sus índices sin puntos. Sin embargo, de nuevo, no es del todo obvio por qué.

Para obtener algo de intuición para el problema, probé un caso simple:

$$\Delta_{\gamma}^{~~\dot{\beta}}:\mathcal{H}_{(2,2)}\rightarrow \mathcal{H}_{(3,1)}$$ $$X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}}\rightarrow X_{\alpha\beta\gamma\dot{\alpha}}:=\Delta_{\gamma}^{~~\dot{\beta}}X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} ~~\text{ where } X_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}=X_{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}}$$

El objetivo de este ejercicio intuitivo sería entonces mostrar que$X_{\alpha\beta\gamma\dot{\alpha}}=X_{\gamma\beta\alpha\dot{\alpha}}$, Por ejemplo.

Si conecto explícitamente algunos números para los índices, puedo ver que, por ejemplo, el caso$(\alpha=1,\gamma=2)$es igual al caso$(\alpha=2,\gamma=1)$como resultado de la condición suplementaria (2). Sin embargo, estoy luchando por generalizar esto y ciertamente no estoy contento con dejar el argumento aquí. ¿Alguien tiene alguna sugerencia o pista para mí? Gracias.