Transformaciones de paridad y Dirac Spinor

Estoy leyendo "Teoría cuántica de campos sin tonterías" y tengo algunas dudas sobre la ley de transformación para Dirac Spinors explicada por el autor. En el libro los espinores quirales izquierdos$\chi$y espinores quirales rectos$\xi$se presentan como objetos que tienen dos componentes y se comportan bajo rotaciones$R$alrededor$x$-eje y aumenta a lo largo$z$-eje$B$como sigue:

$$\chi_a \rightarrow R_{ab}^{(\chi x)} \chi_b \\ \chi_a \rightarrow B_{ab}^{(\chi z)} \chi_b$$

dónde

$$R_{ab}^{\chi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\chi z)} = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{-\phi/2}\end{pmatrix}$$

y

$$\xi_a \rightarrow R_{ab}^{(\xi x)} \xi_b \\ \xi_a \rightarrow B_{ab}^{(\xi z)} \xi_b$$

dónde

$$R_{ab}^{\xi z} = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & i\sin(\theta/2)\\\ i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{pmatrix} \\ \\ B_{ab}^{(\xi z)} = \begin{pmatrix} e^{-\phi/2} & 0\\\ 0 & e^{\phi/2}\end{pmatrix}$$

Luego, el autor introduce el espinor de Dirac:

$$\Psi = (\chi, \xi)^T$$ que se transforma bajo impulsos como

$$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\chi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\xi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\chi, \xi)^T$$ . Hasta ahora estoy siguiendo el argumento, pero luego el autor afirma que la ecuación anterior se convierte en:

$$(\chi, \xi)^T \rightarrow \begin{pmatrix} B^{(\xi z)} (\phi) & 0\\\ 0 & B^{(\chi z)} (\phi)\end{pmatrix} (\xi, \chi)^T$$ porque bajo la transformación de paridad tenemos$B^{(\xi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\xi z)} (-\phi) = B^{(\chi z)} (\phi)$y$B^{(\chi z)} (\phi) \rightarrow B^{(\chi z)} (-\phi) = B^{(\xi z)} (\phi)$. Y luego afirma que esto implica que el Dirac Spinor$\Psi$transforma bajo transformaciones de paridad como $$\Psi = (\chi, \xi)^T \rightarrow (\xi, \chi)^T$$ Estoy confundido acerca de por qué la última declaración se deriva de la discusión anterior. También he adjuntado una imagen de la sección del libro de donde obtuve esto: