Spin representaciones del grupo de Lorentz

Question

Spin representaciones del grupo de Lorentz

Física
espinores
teoría de campo
teoría de grupos
relatividad especial
teoría de la representación

Nabla

En el contexto de la Teoría Clásica de Campos, sabemos que las representaciones irreducibles están etiquetadas por los valores de los dos operadores de Casimir del grupo de Poincaré: podemos tener campos masivos $P^2=m^2>0$ con cierto giro $s$ , $W^2=m^2s(s+1)$ , o campos sin masa $P^2=m^2=0$ con cierta helicidad $h$ , $W^\mu=h P^\mu$ .

Ahora, quiero obtener todas las irreps del grupo de Lorentz (las representaciones de Poincaré son inducidas por estas) para diferentes valores de $m$ y $s,h$ como representaciones proyectivas, es decir, utilizando la representación del grupo de espín que cubre $SO(1,3)$ . Después de algunos pasos (ver this ) entendemos que estamos buscando representaciones complejas de $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ (que es un tensor producto de dos copias de la misma representación y actúan sobre un bispinor, un espinor y un antiespinor) para obtener representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz para diferentes tipos de campos (diferentes valores de masa y espín /helicidad).

Cómo hacemos esto?

Por ejemplo:

Quiero una representación spin-0 ( $m>0$ y $s=0$ ), por lo que espero que, dado que no hay espín, la representación del espín sea trivial $R_0(I_{\mu\nu})=0$ ( $I_{\mu\nu}$ son los 6 generadores del grupo de Lorentz) que actúan sobre un "bispinor trivial", que es solo un campo real de 1 componente (un campo escalar). Esto es facil
quiero dar una vuelta - $1\over 2$ representación ( $m>0$ y $s={1\over 2}$ ), por lo que espero que, dado que un $1\over 2$ -spinor tiene 2 componentes, la representación de espín es un $4\times 4$ matriz compleja $R_{1\over 2}(I_{\mu\nu})=\sigma_{\mu\nu}$ que actúan sobre un bispinor con 4 valores complejos (un campo de espinor). Esto también es fácil, ya que sabemos que la representación (Weyl) de $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ en este caso es sólo la representación definitoria de $SL(2,\mathbb{C})$ $\times$ el complejo conjugado de la representación definitoria de $SL(2,\mathbb{C})$ .
Quiero una representación spin-1 ( $m>0$ y $s=1$ ), entonces, usando los mismos argumentos, espero un bispinor con 6 componentes. ¿Es esto correcto? ¿Cómo puedo decir que este es un campo complejo de cuatro vectores? ¿Son dos representaciones diferentes del mismo campo (como la representación de Weyl y Dirac para $1\over 2$ -campos de espín)?

Por supuesto, sé que es un campo de cuatro vectores, pero me preguntaba si hay una "manera fácil" de decir eso usando una especie de argumento heurístico como el que usé en los ejemplos anteriores.

Respuestas (1)

Spin representaciones del grupo de Lorentz

Iván Burbano · Answer 1

Sugeriría consultar el primer capítulo de Streater, RF y Wightman, AS (1989). PCT, Spin and Statistics, y todo eso. Prensa de la Universidad de Princeton. Allí se comenta que todas las representaciones complejas irreducibles de dimensión finita de $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ son de la forma $D^{(j/2,k/2)}$

ξ_{α_{1} \dots α_{j} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{k}} \mapsto A_{α_{1}}^{ρ_{1}} \dots A_{α_{j}}^{ρ_{j}} {\bar{A}}_{{\dot{β}}_{1}}^{{\dot{σ}}_{1}} \dots {\bar{A}}_{{\dot{β}}_{k}}^{{\dot{σ}}_{k}} ξ_{ρ_{1} \dots ρ_{j} {\dot{σ}}_{1} \dots {\dot{σ}}_{k}},

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}\mapsto A_{\alpha_1}{}^{\rho_1}\cdots A_{\alpha_j}{}^{\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1}{}^{\dot{\sigma}_1}\cdots\bar{A}_{\dot{\beta}_k}{}^{\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_1\cdots\rho_j\dot{\sigma}_1\cdots\dot{\sigma}_k},$ dónde

ξ_{α_{1} \dots α_{j} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{k}}

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}$ es simétrico bajo permutaciones de los índices punteados y sin puntos por separado.

Ahora, yendo a tus ejemplos:

El giro $0$ la representacion es $D^{(0,0)}$ . En ella los espinores no tienen índices. $\xi$ y se transforman trivialmente bajo $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ , por lo que son escalares.
Tenemos dos representaciones de giro 1/2 $D^{(1/2,0)}$ y $D^{(0,1/2)}$ correspondiente a los espinores de Weyl $\xi_\alpha$ y espinores anti-Weyl (?) $\bar{\xi}_\dot{\alpha}$ . El campo de Dirac es entonces por ejemplo en $D^{(1/2,0)}\oplus D^{(0,1/2)}$ con espinores de Dirac $\psi_\mu=(\xi_\alpha,\bar{\xi}_\dot{\alpha})$ .
Las representaciones del giro 1 son $D^{(1,0)}$ , $D^{(1/2,1/2)}$ , y $D^{(0,1)}$ . El del medio es la representación vectorial estándar. $D^{(1/2,1/2)}=D^{(1/2,0)}\otimes D^{(0,1/2)}$ formado por espinores de la forma $\xi_{\alpha\dot{\beta}}$ . Que son 4 vectores se puede ver bajo el isomorfismo estándar $x_{\alpha\dot{\beta}}\mapsto x_\mu:=x_{\alpha\dot{\beta}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , dónde $\sigma_\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . De hecho, a través de este isomorfismo se ve que cuatro vectores llevan una representación de $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ . Para ver esto primero notamos que el inverso de este isomorfismo es simplemente $x_{\alpha\dot{\beta}}=x_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}}$ , dónde $\sigma^\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . La indexación en estas matrices sigma es diferente a la de las anteriores porque se supone que representan la matriz inversa. Da la casualidad de que la inversa de una matriz de Pauli es ella misma. Entonces la representación en 4 vectores es $x_\mu\mapsto A_\alpha{}^{\rho}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}x_\nu\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , es decir, el vector $x_\mu$ cambios a través de la matriz $\Lambda_\mu{}^\nu=\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}A_\alpha{}^{\rho}\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}$ . Se puede mostrar que esto está en el componente conexo de la identidad en las transformaciones de Lorentz. Se puede encontrar más información sobre esto en Haag, R. (1996). Física cuántica local (2ª ed.). Springer Berlín Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61458-3 . Sin embargo, también aparecen las otras representaciones del giro 1. Por ejemplo la representación $D^{(1,0)}$ viene dada por tensores autoduales antisimétricos $B_{\mu\nu}$ . Usando el hecho de que cada 2-tensor $F_{\mu\nu}$ se puede descomponer en una parte autodual y anti-autodual, se puede ver que, por ejemplo, el tensor de intensidad de campo de Maxwell se transforma en $D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}$ .

Otra fuente interesante para esto es Ramond, P. (1990). Teoría de campos: un manual básico moderno (segundo). Westview Press.

Todavía tengo algunos problemas con la representación de spin-1. Dices que los espinores en $D^{(1/2,1/2)}$ son isomorfos a 4 vectores, pero para una representación del grupo de Lorentz, ¿no necesita el producto tensorial de dos representaciones? Por ejemplo en el spin- $1/2$ representación, donde usa la suma directa de dos representaciones para obtener la representación no irreducible que necesita para representar una transformación de Lorentz en un spin- $1/2$ campo. No entiendo cómo haces esto en spin-1.
$D^{(1/2,1/2)}$ es de hecho un producto tensorial de las representaciones $D^{(1/2,0}$ y $D^{(0,1/2)}$ . Agregaré más detalles sobre cómo da lugar a la representación vectorial del grupo de Lorentz. No hay conexión de esto (al menos que yo sepa) con el procedimiento realizado para construir la representación de Dirac. las representaciones $D^{(1/2,0)}$ y $D^{(0,1/2)}$ por sí mismos producen campos de 1/2 de giro perfectamente buenos. Por lo general, se agrupan en un campo de Dirac porque los términos de masa generalmente los mezclan.
Sin embargo, está perfectamente bien pensar en cualquier teoría con fermiones de Dirac en términos de fermiones de Weyl. Creo que, por ejemplo, esto hace que el modelo estándar sea más claro. Los campos en una de las representaciones interactúan a través de la fuerza débil mientras que los campos en la otra no lo hacen. Tal vez puedas aclarar un poco más tu pregunta para poder ayudarte mejor.

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