¿Cómo distinguir un espinor de un vector de 4?

Question

¿Cómo distinguir un espinor de un vector de 4?

Física
espinores
vectores
relatividad especial
teoría de la representación

usuario171780

Digamos que nos dan un objeto de cuatro componentes. Para ser explícitos, consideremos que estos componentes son $x^\mu = \mu$ con $\mu\in{0,1,2,3}$ , es decir

X^{m} \sim [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] .

$x^\mu \sim \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right] .$ ¿Cómo sabemos si estos componentes representan un cuadrivector o un espinor? (Olvídese de la notación típica de 4 vectores que estoy usando. Es solo la notación que elijo). Siempre leo en libros que los 4 vectores (o tensores en general) se reconocen por la forma en que se transforman sus componentes. ¿Esto también se aplica a los espinores?

Permítanme ampliar mi pregunta con un "ejemplo". Consideremos también alguna transformación de Lorentz parametrizada por $\xi_i$ para el "ángulo" de impulsos y $\theta_i$ para los ángulos de rotación. Supongamos que nos dan los componentes de este objeto después de la transformación y que son una serie de números $y^\mu$ . Pero no se nos dice cómo se calcularon o, lo que es más interesante, ambos $x^\mu$ y $y^\mu$ mayo fueron medidos. Por lo tanto, queremos relacionar $x^\mu$ y $y^\mu$ .

Supongamos que después de un poco de 'ensayo y error' encontramos que se relacionan por la transformación lineal

y^{m} = {(Exp (\frac{i}{2} ω_{ρ σ} Σ^{ρ σ}))}_{v}^{m} X^{v}

$y^\mu = \left( \exp\left(\frac{i}{2} \omega_{\rho\sigma} \Sigma^{\rho\sigma}\right) \right)^\mu_{\ \ \ \nu} x^\nu$ (que no es más que

y^{μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν}

$y^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu} x^\nu$ ) dónde

ω_{ρ σ} = [\begin{matrix} 0 & ξ_{1} & ξ_{2} & ξ_{3} \\ - ξ_{1} & 0 & θ_{3} & θ_{2} \\ - ξ_{2} & - θ_{3} & 0 & θ_{1} \\ - ξ_{3} & - θ_{2} & - θ_{1} & 0 \end{matrix}]

$\omega_{\rho\sigma} = \left[ \begin{matrix}0 & \xi_{1} & \xi_{2} & \xi_{3}\\ -\xi_{1} & 0 & \theta_{3} & \theta_{2}\\ -\xi_{2} & -\theta_{3} & 0 & \theta_{1}\\ -\xi_{3} & -\theta_{2} & -\theta_{1} & 0 \end{matrix} \right]$

¿Es correcto concluir lo que sigue?

Si $\Sigma^{\rho\sigma}$ están dados por lo que concluimos que los componentes representan un cuadrivector.
Si $\Sigma^{\rho\sigma} = \frac{i}{4} [\gamma^\rho,\gamma^\sigma]$ con $\gamma^\mu$ las matrices de Dirac, o más explícitamente entonces concluimos que los componentes representan un espinor.
Si el $\Sigma$ son diferentes de estos pero satisfacen el álgebra de Lorentz, entonces los componentes $x^\mu$ representar otro tipo de objeto diferente a un cuadrivector o un espinor.

¿Es esto correcto? En caso afirmativo, ¿puede tomarse esto como la definición de un espinor (como sucede con los 4 vectores) de forma independiente para que satisfagan o no la ecuación de Dirac?

Alejandro

Se reconoce por contexto (posiblemente incluso por análisis dimensional ). Los componentes de Dirac Spinor son "estados internos" y tienen diferentes propiedades (restricciones) que los "solo" 4 vectores.

octonión

Aquí hay una explicación simple en Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation

charlie

Una forma de reconocerlos es por la forma en que se transforman. En general, los 4 vectores se transforman a través de Lorentz como

Ψ^{'} = M (Λ) Ψ

$\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , dónde

M (Λ)

$M(\Lambda)$ es la matriz de transformación para la transformación de Lorentz

Λ

$\Lambda$ . Una forma de representar esta matriz es a través de generadores de rotación.

M (Λ) = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} J_{μ ν})

$M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . Por otro lado, y spinor es un objeto que se transforma como

Ψ^{'} = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} S_{μ ν}) Ψ

$\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , donde los generadores están dados por

S_{μ ν} = \frac{i}{4} [γ_{μ}, γ_{ν}]

$S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , dónde

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ son las matrices gamma de Dirac.

papi kropotkin

Cuando se representa simplemente como un vector de columna, uno no puede distinguirlos, ¡ese es el punto de la representación simple! Como otros han dicho anteriormente, el contexto debería informarte sobre la naturaleza de la bestia.

Cosmas Zachos

Los Casimiros de tus repeticiones 1 y 2 tienen valores propios muy diferentes, no... ¿cuáles?

Cosmas Zachos

Tu rep 2 ya está reducida (mira sus bloques). Ahora, en cada caso, los tres generadores inferiores representan el subgrupo de rotación. ¿Puedes ver el vector, giro 1, representación en 1, y los dos dobletes disjuntos, giro 1/2, repeticiones en 2?

Respuestas (1)

¿Cómo distinguir un espinor de un vector de 4?

Se reconoce por contexto (posiblemente incluso por análisis dimensional ). Los componentes de Dirac Spinor son "estados internos" y tienen diferentes propiedades (restricciones) que los "solo" 4 vectores.
Aquí hay una explicación simple en Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation
Una forma de reconocerlos es por la forma en que se transforman. En general, los 4 vectores se transforman a través de Lorentz como $\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , dónde $M(\Lambda)$ es la matriz de transformación para la transformación de Lorentz $\Lambda$ . Una forma de representar esta matriz es a través de generadores de rotación. $M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . Por otro lado, y spinor es un objeto que se transforma como $\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , donde los generadores están dados por $S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , dónde $\gamma_\mu$ son las matrices gamma de Dirac.
Cuando se representa simplemente como un vector de columna, uno no puede distinguirlos, ¡ese es el punto de la representación simple! Como otros han dicho anteriormente, el contexto debería informarte sobre la naturaleza de la bestia.
Los Casimiros de tus repeticiones 1 y 2 tienen valores propios muy diferentes, no... ¿cuáles?
Tu rep 2 ya está reducida (mira sus bloques). Ahora, en cada caso, los tres generadores inferiores representan el subgrupo de rotación. ¿Puedes ver el vector, giro 1, representación en 1, y los dos dobletes disjuntos, giro 1/2, repeticiones en 2?

Stijn B. · Answer 1

Se podría decir que uno puede distinguir vectores y espinores por la forma en que se transforman. Los vectores y los espinores pertenecen a diferentes representaciones del grupo de Lorentz y, por lo tanto, tienen diferentes reglas de transformación. Su ejemplo es de hecho correcto. Entonces, si sabe por el contexto cómo se transforma un objeto, puede adivinar qué es.

Por lo general, los matemáticos se enfadan bastante cuando oyen hablar de "definir el objeto X por la forma en que se transforma". ¿Cómo puedes transformar algo que aún no has definido? Aún así, esta es la forma en que muchos libros de texto GR introducen tensores, y desde el punto de vista de la física, está bien. Los matemáticos preferirían un enfoque de abajo hacia arriba, en el que uno comenzaría con un grupo (como el grupo de Lorentz o el grupo de rotación), clasificaría sus representaciones y solo luego les daría nombres tontos como 'espinor' y 'tensor'.

Por cierto (bastante irrelevante), creo que hay algunos signos negativos en sus generadores de Lorentz para los 4 vectores: los generadores de refuerzo deben tener dos elementos distintos de cero del mismo signo.

Entonces, si mido algo, luego giro el experimento y realizo la misma medición, analizando la forma en que se relacionan las mediciones puedo adivinar cuál es la naturaleza de ese algo, ¿verdad? Para escalares la medida dará el mismo resultado, y para vectores o espinores (u otros objetos) las relaciones entre los componentes me dirán cuál es.

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usuario171780

Alejandro

octonión

charlie

papi kropotkin

Cosmas Zachos

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Stijn B.

usuario171780

Stijn B.

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