Interpretación de los espinores de rango 2

Question

Interpretación de los espinores de rango 2

Física
espinores
cálculo tensorial
relatividad especial
teoría de la representación

Jak

Mientras inspeccionaba el $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ representación del grupo de Lorentz y definiendo un espinor diestro con índice superior punteado y un espinor zurdo con índice inferior sin punto y, por lo tanto,

v_{b}^{\dot{a}} = v^{v} σ_{b v}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{1} + i v_{2} & - (v_{0} + v_{3}) \\ v_{0} - v_{3} & - (v_{1} - i v_{2}) \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3) \\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ y

v^{\dot{a} b} = ϵ^{b C} v_{C}^{\dot{a}}

$v^{ \dot{a} b} = \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$

con espinor métrica

ϵ^{b C} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

$\epsilon^{bc}= \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$

se puede ver que el espinor de rango 2 $v^{ \dot{a} b}$ tiene exactamente las mismas propiedades de transformación que un vector de 4 $v_{\mu}$ . Pero de la misma manera se puede ver que por ejemplo $v^{\dot{a}}_b$ transforma de manera diferente. ¿Hay alguna interpretación física de esos objetos? ¿Describen partículas específicas (¿no partículas vectoriales?)? Cualquier ayuda o sugerencia de lectura sería muy apreciada.

Trimok

Es mejor usar el formalismo estándar, ver por ejemplo este documento , fórmulas

2.18 \to 2.32

$2.18 \to 2.32$ . Ahora, la matriz

ϵ^{b c}

$\epsilon^{bc}$ claramente está invirtiendo la proyección de giro

m

$m$ de la parte sin punto (spinor), por ejemplo, hablando de estados,

(\pm \frac{1}{2}, + \frac{1}{2}) \to \mp (\mp \frac{1}{2}, + \frac{1}{2})

$( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .

Jak

Gracias por su sugerencia de lectura, el documento se ve muy bien. En la ec. 2.32 del artículo se hace la conexión explícita entre 4-vectores y bi-espinores. Lo que no me queda claro es por qué se debe hacer esta elección en particular y qué significa una elección diferente, como por ejemplo

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ ¿describir?

Trimok

Creo que la idea, por ejemplo, al mirar la ecuación

2.30

$2.30$ , es que las "matrices" tienen

2

$2$ índices al mismo nivel (hacia arriba o hacia abajo). Ahora, puede elegir sus propias convenciones, siempre que todo el formalismo sea coherente, pero es mejor seguir las reglas estándar que se usan más o menos en los artículos científicos.

Jak

Esto suena lógico, pero por lo que puedo ver, las matrices de transformación siempre tienen un índice hacia arriba y otro hacia abajo y esto de alguna manera contradice la convención. Ver por ejemplo en la línea de abajo 2.18.

Trimok

Sí, pero estas matrices tienen índices de espacio-tiempo (vector), no índices de espinor, por lo que no hay contradicción.

Jak

Creo que estos son índices de espinor, porque, por ejemplo, en la línea debajo de la ec. 2.18 hay puntos en los índices.

Trimok

ah si, el

M

$M$ matriz entre

2.17

$2.17$ y

2.18

$2.18$ . Ahora bien, aquí es lógico, porque, mirando los espinores sobre los que actúa esta matriz, el espinor final tiene la misma naturaleza que el espinor inicial, por lo que necesariamente debe haber un índice superior y un índice inferior. No tienes elección aquí.

Valter Moretti

@JakobH No entiendo tu pregunta. O mejor creo que podría considerarse similar a este. Si

S^{μ}

$S^\mu$ tiene un significado físico diferente al de

S_{μ}

$S_\mu$ .No lo creo, porque los espacios de estos vectores son canónicamente isomorfos debido a la existencia de la métrica. Los dos espacios de espinores que consideras son isomorfos canónicamente de manera similar por medio del espinor métrico, por lo que incluyen la misma información.

Jak

Hola Valter. En los libros encuentro oraciones como: Si definimos el objeto

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ vemos que los coeficientes

v^{ν}

$v^{\nu}$ transformarse como los de un cuatro vector. Pero, ¿por qué miramos este objeto específico? En cambio, podríamos hacer la identificación

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ donde los coeficientes

v^{ν}

$v^{\nu}$ no se transforme como cuatro coeficientes vectoriales. ¿Por qué se descarta esta posibilidad?

Valter Moretti

Bueno, si

S L (2, C) ∋ L \mapsto Λ_{L} \in S O (1, 3)^{+}

$SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ es la proyección estándar, para la primera tenemos (como sabemos), con notaciones obvias:

(Λ_{L} v) = L v L^{†}

$(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , para este último en cambio

(Λ_{L} v) = L v {\bar{L}}^{- 1}

$(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$

Jak

Estoy de acuerdo en esto, pero si hacemos la identificación

v_{b}^{\dot{a}} = v^{ν} σ_{b ν}^{\dot{a}} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

$v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ podemos transformar esto en

v^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}$ con la métrica de espinor:

v^{\dot{a} b} = ϵ^{b c} v_{c}^{\dot{a}}

$v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Esto da

v^{\dot{a} b} = (\begin{matrix} v_{1} + i v_{2} & - (v_{0} + v_{3}) \\ v_{0} - v_{3} & - (v_{1} - i v_{2}) \end{matrix})

$v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ que es diferente a si hiciéramos la identificación

v^{\dot{a} b} = v^{ν} σ_{ν}^{\dot{a} b}

$v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Sin embargo las transformamos con las mismas matrices y nos dan distintos coeficientes transformados

v_{ν}

$v_\nu$ .

Murod Abdukhakimov

Creo que la mejor lectura sobre el tema es: Laporte, O. y GE Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380 (1931). Encontrará una respuesta en este documento.

Respuestas (1)

Interpretación de los espinores de rango 2

Es mejor usar el formalismo estándar, ver por ejemplo este documento , fórmulas $2.18 \to 2.32$ . Ahora, la matriz $\epsilon^{bc}$ claramente está invirtiendo la proyección de giro $m$ de la parte sin punto (spinor), por ejemplo, hablando de estados, $( \pm \frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) \to \mp ( \mp \frac{1}{2}, +\frac{1}{2})$ .
Gracias por su sugerencia de lectura, el documento se ve muy bien. En la ec. 2.32 del artículo se hace la conexión explícita entre 4-vectores y bi-espinores. Lo que no me queda claro es por qué se debe hacer esta elección en particular y qué significa una elección diferente, como por ejemplo $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ ¿describir?
Creo que la idea, por ejemplo, al mirar la ecuación $2.30$ , es que las "matrices" tienen $2$ índices al mismo nivel (hacia arriba o hacia abajo). Ahora, puede elegir sus propias convenciones, siempre que todo el formalismo sea coherente, pero es mejor seguir las reglas estándar que se usan más o menos en los artículos científicos.
Esto suena lógico, pero por lo que puedo ver, las matrices de transformación siempre tienen un índice hacia arriba y otro hacia abajo y esto de alguna manera contradice la convención. Ver por ejemplo en la línea de abajo 2.18.
Sí, pero estas matrices tienen índices de espacio-tiempo (vector), no índices de espinor, por lo que no hay contradicción.
Creo que estos son índices de espinor, porque, por ejemplo, en la línea debajo de la ec. 2.18 hay puntos en los índices.
ah si, el $M$ matriz entre $2.17$ y $2.18$ . Ahora bien, aquí es lógico, porque, mirando los espinores sobre los que actúa esta matriz, el espinor final tiene la misma naturaleza que el espinor inicial, por lo que necesariamente debe haber un índice superior y un índice inferior. No tienes elección aquí.
@JakobH No entiendo tu pregunta. O mejor creo que podría considerarse similar a este. Si $S^\mu$ tiene un significado físico diferente al de $S_\mu$ .No lo creo, porque los espacios de estos vectores son canónicamente isomorfos debido a la existencia de la métrica. Los dos espacios de espinores que consideras son isomorfos canónicamente de manera similar por medio del espinor métrico, por lo que incluyen la misma información.
Hola Valter. En los libros encuentro oraciones como: Si definimos el objeto $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ vemos que los coeficientes $v^{\nu}$ transformarse como los de un cuatro vector. Pero, ¿por qué miramos este objeto específico? En cambio, podríamos hacer la identificación $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ donde los coeficientes $v^{\nu}$ no se transforme como cuatro coeficientes vectoriales. ¿Por qué se descarta esta posibilidad?
Bueno, si $SL(2,C) \ni L \mapsto \Lambda_L \in SO(1,3)^+$ es la proyección estándar, para la primera tenemos (como sabemos), con notaciones obvias: $(\Lambda_L v)= LvL^\dagger$ , para este último en cambio $(\Lambda_L v)= Lv\overline{L}^{-1}$
Estoy de acuerdo en esto, pero si hacemos la identificación $v^{\dot{a}}_b=v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ podemos transformar esto en $v^{\dot{a}b}$ con la métrica de espinor: $v^{\dot{a} b}= \epsilon^{bc} v_c^{\dot{a}}$ Esto da $v^{ \dot{a} b}= \begin{pmatrix} v_1+iv_2&-(v_0+v_3)\\v_0-v_3&-(v_1-iv_2) \end{pmatrix}$ que es diferente a si hiciéramos la identificación $v^{\dot{a}b}=v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}$ . Sin embargo las transformamos con las mismas matrices y nos dan distintos coeficientes transformados $v_\nu$ .
Creo que la mejor lectura sobre el tema es: Laporte, O. y GE Uhlenbeck, Phys. Rev. 37, 1380 (1931). Encontrará una respuesta en este documento.

JeffDror · Answer 1

El grupo de Lorentz es el conjunto de matrices que conservan el producto escalar de cuatro vectores,

$v^2 = v_0^2 - v_1^2 - v _2 ^2 - v _3 ^2$

Ambos $v ^\mu$ y $v ^{ \alpha \dot{\alpha} } \equiv v ^ {\mu} (\sigma_\mu) ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ transformar bajo el grupo de Lorentz. Simplemente se transforman bajo una representación diferente (¡pero aún bajo la misma transformación!).

Además, existe una correspondencia uno a uno entre cada vector $v ^\mu$ y $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ . Así que siempre puedes elegir trabajar en una representación o en la otra.

Tenga en cuenta que la única distinción importante entre las dos representaciones es que para cada matriz de impulso para $v ^\mu$ , $\Lambda ^{ \mu } _\nu$ , existen dos matrices de refuerzo equivalentes para $v ^{ \alpha \dot{\alpha} }$ , $N _{\alpha \beta}$ . Esto soluciona algunos de los inconvenientes asociados con la representación fundamental del grupo de Lorentz (cuatro vectores).

Por ejemplo, si tiene cuatro vectores y desea impulsarlo en una dirección determinada. Puedes encontrar la matriz $\Lambda ^\mu_\nu$ y multiplicar $v ^\mu$ como

$v' ^\mu = \Lambda _\nu ^\mu v ^\nu$

o podrías encontrar la matriz $N _{\alpha \beta }$ y aplicarlo al espinor de rango 2:

$v' _{\alpha \dot{\alpha}} = N _\alpha ^ \beta v _{\beta \dot{\gamma}} N ^{\ast \, \dot{\gamma}} _{\dot{\alpha}}$

Ambos métodos son equivalentes.

Gracias por tu respuesta. Si bien estoy de acuerdo con todo lo que dices, todavía hay algo que no me queda claro. Hace una diferencia en el comportamiento de transformación de $v^{\nu}$ si elijo $v^{\dot{a}}_b = v^{\nu} \sigma_{b \nu}^{\dot{a}}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ o si elijo $v^{\dot{a}b} = v^{\nu} \sigma_{ \nu}^{\dot{a}b}= \begin{pmatrix} v_0+v_3&v_1-iv_2\\v_1+iv_2&v_0-v_3 \end{pmatrix}$ como mi primera definición (supongo que esto corresponde de alguna manera a elegir una base). No entiendo lo que describe el objeto transformador diferente.
Normalmente definimos los índices $\alpha, \dot{\alpha}$ tal que $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ . Esto conduce a una forma particular para las matrices de transformación. Sin embargo, si tiene la matriz de transformación para $v ^{\alpha \dot{\alpha}}$ usted puede calcular fácilmente para $v ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ aplicando el tensor de Levi Cevita. El objeto transformador diferente describe un impulso o rotación en el espacio.
Hice las mismas definiciones para los índices, así que $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ da las transformaciones correctas para los coeficientes $v_{\nu}$ . Se transforman como los coeficientes de un cuadrivector. Sin embargo, elegir $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ me parece algo desmotivado. Con las mismas definiciones para los índices puedo definir otro objeto $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ que se transforma completamente diferente. ¿Qué describe este objeto?
Seguro. Puede asignar una convención diferente. Pero eso también cambiará la convención de sus matrices de transformación. Entonces, al final, si vuelve a la forma de cuatro vectores, seguirá obteniendo el mismo vector transformado $v_ \mu '$ . La posición de los índices no es sagrada. Lo importante es que seas constante.
No me refiero a una convención diferente. Me refiero a permanecer en una convención y después de mirar $v ^{\alpha \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v _\mu) ^{\alpha \dot{\alpha}}$ Echo un vistazo a cómo $v' ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}} = (\sigma ^{\mu} v' _\mu) ^{\alpha}_{ \dot{\alpha}}$ transforma los coeficientes $v' _\mu$ no se transforme como los índices de un vector de cuatro. Las definiciones que hacemos son, según tengo entendido, para los índices de espinores, es decir, la posición de los índices de espinores diestros y zurdos. En otras palabras: ¿Qué me fija a la primera opción?

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