Espinores de Dirac, Weyl y Majorana

Recuérdese un espinor de Dirac que obedece al Lagrangiano de Dirac

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi.$$

El espinor de Dirac es un espinor de cuatro componentes, pero se puede descomponer en un par de espinores de dos componentes, es decir, proponemos

$$\psi = \left( \begin{array}{c} u_+\\ u_-\end{array}\right),$$

y el Dirac Lagrangiano se convierte en,

$$\mathcal{L} = iu_{-}^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}u_{-} + iu_{+}^{\dagger}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+} -m(u^{\dagger}_{+}u_{-} + u_{-}^{\dagger}u_{+})$$

dónde$\sigma^{\mu} = (\mathbb{1},\sigma^{i})$y$\bar{\sigma}^{\mu} = (\mathbb{1},-\sigma^{i})$dónde$\sigma^{i}$son las matrices de Pauli y$i=1,..,3.$Los espinores de dos componentes$u_{+}$y$u_{-}$se denominan espinores de Weyl o quirales. en el limite$m\to 0$, un fermión puede ser descrito por un solo espinor de Weyl, satisfaciendo, por ejemplo,

$$i\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+}=0.$$

Los fermiones de Majorana son similares a los fermiones de Weyl; también tienen dos componentes. Pero deben satisfacer una condición de realidad y deben ser invariantes bajo conjugación de carga. Cuando expandes un fermión de Majorana, los coeficientes de Fourier (u operadores sobre la cuantificación canónica) son reales. En otras palabras, un fermión de Majorana$\psi_{M}$puede escribirse en términos de espinores de Weyl como,

$$\psi_M = \left( \begin{array}{c} u_+\\ -i \sigma^2u^\ast_+\end{array}\right).$$

Los espinores de Majorana se utilizan con frecuencia en teorías supersimétricas. En el modelo de Wess-Zumino, el modelo SUSY más simple, se construye un supermultiplete a partir de un campo pseudoescalar auxiliar escalar complejo y el espinor de Majorana precisamente porque tiene dos grados de libertad a diferencia del espinor de Dirac. La acción de la teoría es simplemente,

$$S \sim - \int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi^{\ast}\partial_\mu \phi + i \psi^{\dagger}\bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi + |F|^2 \right)$$

dónde$F$es el campo auxiliar, cuyas ecuaciones de movimiento establecen$F=0$pero es necesario por razones de consistencia debido a los grados de libertad dentro y fuera de la cubierta.

Después de que aprenda más sobre los espinores, verá que todos los espinores pertenecen a la$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$representación de la$SL(2,C)$grupo, que es la doble portada del grupo lorentz$SO(3,1)$. La idea es encontrar representaciones de un grupo de cobertura simplemente conectado que en este caso es$SL(2,C)$, la estructura local dada por la relación de conmutación algebraica de mentira sigue siendo la misma.

Las ecuaciones espinoriales permiten extraer subespacios invariantes de Lorentz en el espacio total de$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$representación.

Tanto los espinores de Dirac como los de Majorana pertenecen a$\left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$representacion de$SL(2,C)$grupo, pero son sólo subespacios de él. Por ejemplo, los espinores de Majorana son todos eléctricamente neutros (es decir, permanecen invariables bajo la conjugación de carga). De manera similar, los espinores de Dirac son "magnéticamente neutros".

Los espinores Weil pertenecen a cualquiera$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$o$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$subespacios. A diferencia de los espinores de Dirac y Majorana, podrían considerarse espinores de 2 componentes. Pero esto también es una limitación, porque algunas transformaciones especiales de Lorentz no se pueden aplicar a estos espinores.