¿Cuál es la relación entre SL(2,C)SL(2,C)SL(2,\mathbb{C}), SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\ veces SU(2) y SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)?

Aquí está mi valor de dos centavos.

¿Por qué Lie Álgebras?

Primero solo voy a hablar sobre álgebras de Lie . Estos capturan casi toda la información sobre el grupo subyacente. La única información omitida son las simetrías discretas de la teoría. Pero en la mecánica cuántica generalmente los tratamos por separado, así que está bien.

El álgebra de la mentira de Lorentz

Resulta que el álgebra de Lie del grupo de Lorentz es isomorfa a la de$SL(2,\mathbb{C})$. Matemáticamente escribimos esto (usando la fuente Fraktur para álgebras de Lie)

$$\mathfrak{so}(3,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Esto tiene sentido ya que$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$no es compacto, como el grupo Lorentz.

Representando la situación

Cuando hacemos mecánica cuántica, queremos que nuestros estados vivan en un espacio vectorial que forma una representación de nuestro grupo de simetría. Vivimos en un mundo real, por lo que debemos considerar representaciones reales de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

Un poco de pensamiento le convencerá de lo siguiente.

Hecho : las representaciones reales de un álgebra de Lie están en correspondencia uno a uno (biyección) con representaciones complejas de su complejización .

Eso suena bastante técnico, pero en realidad es simple. ¡Simplemente dice que podemos tener espacios vectoriales complejos para nuestros estados mecánicos cuánticos! Es decir, siempre que usemos coeficientes complejos para nuestro álgebra de Lie$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

Cuando complejizamos$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$obtenemos una suma directa de dos copias de la misma. Matemáticamente escribimos

$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_{\mathbb{C}} = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Entonces, ¿dónde$SU(2)$¿Adelante?

Así que estamos buscando representaciones complejas de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Pero estos solo provienen de un producto tensorial de dos representaciones de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Por lo general, están etiquetados con un par de números, así

$$|\psi \rangle \textrm{ lives in the } (i,j) \textrm{ representation of } \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Entonces, ¿cuáles son las posibles representaciones de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$? Aquí podemos usar nuestro hecho de nuevo. Resulta que$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$es la complejización de$\mathfrak{su}(2)$. Pero sabemos que las representaciones reales de$\mathfrak{su}(2)$son las representaciones de giro!

Así que realmente los números$i$y$j$Etiquete el momento angular y el espín de las partículas. ¡Desde esta perspectiva puedes ver que el espín es una consecuencia de la relatividad especial!

¿Qué pasa con la compacidad?

Este tortuoso viaje te muestra que las cosas no son realmente tan simples como las pinta Ryder. Tienes toda la razón en que

$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) \neq \mathfrak{so}(3,1)$$

¡ya que el LHS es compacto pero el RHS no lo es! Pero mis argumentos anteriores muestran que la compacidad no es una propiedad que sobreviva al procedimiento de complejización. Es mi "hecho" anterior lo que une todo.

Curiosamente, en la firma euclidiana uno tiene que

$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(4)$$

Es posible que sepa que QFT está estrechamente relacionado con la física estadística a través de la rotación de Wick. Entonces, esta observación demuestra que la historia intuitiva de Ryder es buena, incluso si su afirmación matemática es imprecisa.

¡Avísame si necesitas más ayuda!

En primer lugar, ¿qué libro es este? Será de gran ayuda si puedo hacer referencia a él mismo.

Es muy probable que cuando dice$\mbox{SO}(1,3)$[o$\mbox{SO}(3,1)$!] que quiere decir$\mbox{SO}(1,3)_\uparrow$, que no es lo mismo en absoluto! Pero la mayoría de la gente es muy perezosa con esto.

Aquí está eligiendo la región de$\mbox{O}(1,3)$conectado por camino al elemento de identidad, donde$\mbox{O}(1,3)$consta de cuatro regiones desconectadas, etiquetadas por

$$\det(L) = \pm1$$

y

$$L^{00} > 1 \space \mbox{ or } \space L^{00} < -1$$

Entonces tenemos

$$(\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2))/ \mathbb{Z_2} \simeq \mbox{SO}(4)$$

Puede demostrar esto considerando la acción de cada uno de$\mbox{SU}(2)$y$\mbox{SO}(4)$en vectores bidimensionales y tetradimensionales respectivamente. Encontrarás eso

$$(x^1)^2 + (y^1)^2 + (x^2)^2 + (y^2)^2 = 1$$

y

$$(x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 + (x^4)^2 = 1$$

respectivamente, hasta la normalización. Aquí tenemos que sacar el cociente$\mathbb{Z_2}$ya que solo queremos esos$U \in \mbox{SU}(2)$cual tiene

$$\det(U) = 1$$

Después$\mbox{SO}(4)$es al espacio euclidiano como$\mbox{SO}(1,3)$es al espacio de Minkowski (usando la métrica rusa). Por eso dice que$\mbox{SO}(1,3)$es esencialmente $\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2)$, pero evita declarar que el primero es el segundo (lo que sería una declaración incorrecta).

A continuación, debe recordar que$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$es la parte real de la complejización de$\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2)$. Eso es,$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$es una doble cubierta de$\mbox{SU}(2)$. Esto se debe a que, cuando complejizas y luego tomas las partes reales, obtienes dos copias de$\mbox{SU}(2)$. Piensa en la forma en que 'complejizamos'$\mathbb{R}$y obten$\mathbb{C}$, y sabemos que siempre podemos escribir, por$z \in \mathbb{C}$

$$z = x + i y$$

dónde$x, y \in \mathbb{R}$. Así que si tomamos las partes reales de$\mathbb{C}$obtendríamos dos copias de$\mathbb{R}$, la$x$y el$y$,

$$\mathbb{C} \simeq \mathbb{R^2}$$

Podemos hacer lo mismo con Lie Algebras, ya que son solo espacios vectoriales después de todo, al igual que$\mathbb{R}$y$\mathbb{C}$son (¡quizás un poco menos triviales sin embargo!).